Einführung in die Analyse mit Fibonacci-Zahlen - 500 Beiträge pro Seite

[Swip]

Leonardo von Pisa wurde zwischen 1170 und 1180 geboren. Bekannt wurde er unter dem Namen Fibonacci, was eine Verkürzung von "Filius Bonacci", also "Sohn des Bonacci" ist. Er lernte auf Handelsreisen nach Algerien, Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence alle damals bekannten Rechenverfahren kennen. Ebenso wie sein Geburtsjahr ist auch sein Todesjahr nicht exakt bekannt. Die letzte Nachricht über ihn ist ein Dekret aus dem Jahr 1240, in dem ihm die Republik Pisa ein jährliches Gehalt aussetzte. Sein 1202 erschienenes, 459 Seiten starkes Werk Liber Abaci machte in Europa die indische Rechenkunst bekannt und führte die heute übliche arabische Schreibweise der Zahlen ein. Vor der Veröffentlichung des Buches mussten Mathematiker wie Buchhalter noch mit den mühsamen lateinischen Zahlen auskommen. Obwohl diese Einführung sicherlich der größte Verdienst Fibonaccis war, so ist sein Name in der modernen Mathematik mit einer Zahlenfolge verbunden, die eigentlich mehr auf ein Zahlenrätsel zurückgeht.

Entstehung der Folge

In seinem Rätsel betrachtet Fibonacci die Nachkommenschaft eines (idealisierten) Kaninchenpaares, die bekanntlich sehr groß ist. Für die Simulation werden folgende Annahmen gemacht.

-Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von zwei Monaten fortpflanzungsfähig.
-Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein neues Paar zur Welt.
-Alle Kaninchen leben ewig.

Im ersten und zweiten Monat gibt es logischerweise nur ein paar, da es noch nicht zeugungsfähig ist. Danach kommt zwei Monate lang je ein paar hinzu, im nächsten zwei, dann drei, dann fünf ...

Mathematische Definition

Wenn a(n) die Anzahl der Kaninchenpaare bezeichnet, die im n-ten Monat leben, so ergibt sich hierfür gerade die Folge a(n+2) = a(n+1) + a(n) mit den Startwerten a(1) = 1 und a(2) = 1

Als konkrete Zahlen der Fibonacci-Folge ergeben sich also:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 .....

Kurzer Witz aus dem Studienalltag für alle, denen das zu toughes Zeug ist:

Ein Experimentalphysiker, ein theoretischer Physiker und ein Mathematiker werden jeder hungrig in eine Zelle gesperrt, mit nichts als einer verschlossenen Blechdose: Hering in Tomatensoße oder so. Am nächsten Morgen sieht man nach, wie jeder sein Problem bewältigt hat. - Die Zelle des Experimentalphysikers ist übel zugerichtet: überall Macken in der Wand vom Aufprall der Dose, von verschiedenen Stellen der Decke tropft die Soße, aber der Gefangene fummelt glücklich mit dem Finger den Fisch aus der Dose. - Der theoretische Physiker speist ebenfalls, aber seine Zelle sieht besser aus. Er hat nämlich zuerst umfangreiche Flugbahnberechnungen angestellt und dann sein Ziel mit einem einzigen wohlgezielten Wurf erreicht. - Der Mathematiker sitzt vor der geschlossenen Dose - und ist ebenfalls glücklich, denn er sagt: Angenommen, diese Dose wäre offen ...

Fibonacci-Verhältnisse und goldener Schnitt

Die Fibonacci-Zahlenfolge steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt. Teilt man nämlich eine Fibonacci-Zahl durch die folgende, so erhält man stets 0.618 (ab 21).

Im goldenen Schnitt findet sich dieses Verhältnis ebenfalls:

Eine Strecke AB wird durch einen Punkt C im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke so verhält, wie die längere Teilstrecke zu AB. Bezeichnet man die längere Teilstrecke mit x und die kürzere Teilstrecke mit 1-x, so muß also gelten

x : 1 = (1-x) : x.

Also ist x (positive) Lösung der quadratischen Gleichung

x^2 + x - 1 = 0.

Bezeichnet man diese Zahl mit rho, so hat man

rho = (sqrt(5)-1)/2 = 0.61803...

Der goldene Schnitt bezeichnet quasi die für Mathematiker perfekte Teilung.

Ausser diesem ganz besonderen Zahlenverhältnis gibt es noch den Quotienten aus einer Fibo-Zahl und der übernächsten (0.382), sowie die reziproken Werte (1.618 und 2.618)

... und in die Finanzwelt

Die Fibonacci-Zahlen sowie die Fibonacci-Verhältnisse tauchen in ganz normalen Wachstumsvorgängen in der Natur auf. R. N. Elliott übertrug diese in den dreißiger Jahren erstmals auf das Börsengeschehen.

Soweit zur Geschichte, die Theorie und die praktische Anwendung folgt demnächst.

[oropreto]

Hallo swip
Den Goldenen Schnitt kenne ich aus der Malerei.
Der römische Architekt Vitruvius, der zu Zeiten Kaiser Augustus lebte, suchte den idealen Punkt zur
Gestaltung einer Fläche ... Er definierte die Lösung folgendermaßen:
"Damit eine in unterschiedliche Abschnitte aufgeteilte Fläche angenehm und ästhetisch wirkt, muß zwischen
dem kleinsten und dem größten Abschnitt dasselbe Verhältnis bestehen wie zwischen dem größten
und der Gesamtfläche."
Auf jeden Fall hast Du mein Interesse an Fibonacci geweckt.
oro

[SanchoPancho]

soweit ist mir das alles klar, Swip
aber ich warte auf die praktischen anmwendungsbeispiele
danke