Ein kleines Rätsel zum Sonntag... - 500 Beiträge pro Seite

[Lahmer Hannes]

Die Spieler A und B werfen eine Münze, bis entweder die von A vorausgesagte Sequenz ZWZ oder die von B getippte Sequenz ZZW fällt. Beispielsweise gewinnt A im Fall WZWZ, B gewinnt z.B. beim Spielverlauf WWZZW. Haben beide Spieler die gleiche Gewinnchance?



MfG LH

[porra]

solche Münzen gibts doch gar nicht...

[FillOrKill]

@ Lahmer Hannes:

natürlich nicht. da die bedingung ist "bis entweder die von A vorausgesagte Sequenz ZWZ oder die von B getippte Sequenz ZZW fällt".

die wahrscheinlichkeit wird in diesem fall beeinflusst durch die eingeschränkte möglichkeit der fallversuche und durch die festlegung der sequenz.

begründung:

wahrscheinlich ist, dass W und Z mit einer gleich hohen wahrscheinlichkeit auftitt, wenn der fallversuch gegen unendlich ausgeführt wird.

in diesem fall ist aber eine gesonderte wahrscheinlichkeitsberechnung durchzuführen, wie oft bei fallversuchen die aufeinaderfolgende sequenz ZWZ und ZZW auftritt. (das berechene ich aber jetzt nicht )

um es vereinfacht darzustellen:

spieler A soll die sequenz ZZZWZZZWZZZWWZZWZZWWWZZZZ werfen
spieler B soll die sequenz WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWZZWW werfen

die wahrscheinlichkeit, dass B diese sequenz wirft, ist geringer, da bei diesem versuch Z und W gegen eine 50%ige wahrscheinlichkeit strebt.

Fazit: Die von B getippte Sequenz ZZW fällt mit einer geringeren wahrscheinlichkeit.

PROST darauf habe ich mir nen bierchen verdient

fillorkill

[Lahmer Hannes]

@FillOrKill


Deiner Meinung kann ich mich nicht ganz anschliessen!
Ohne eine genaue Berechnung der einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten ist wohl eine Aussage nicht möglich!


MfG LH

[Wesdaq]

"bis entweder die von A vorausgesagte Sequenz ZW Z oder die von B getippte Sequenz Z ZW fällt."

Demnach teilen sich beide Spieler eine Zweier-Sequenz, nämlich "ZW".
Die muß also bei beiden fallen.
Im einen Fall jedoch am Anfang, beim Anderen am Schluß der Dreier-Sequenz.
Der, bei dem sie am Anfang fällt hat demnach einen Zeitvorteil, da die Wahrscheinlichkeit was vor oder nach der Zweier-Sequenz fällt für beide gleich ist.
A gewinnt.

[Wesdaq]

Gibts auch ne offizielle Lösung?

[Neemann]

Der LH nu wieder - guck ich mal beim Allgemeinen vorbei, rätseln sie alle


Ich geh ja davon aus, dass die gewinnw`keit für beide gleich ist. Sie werfen und werfen und werfen ... und irgendwann fällt mal ein Z

Anschliessen könnte mit gleicher W`keit ein WZ oder ein ZW folgen.

[gibniemalsauf]

Der Spieler welcher mit Würfeln beginnt hat bessere Chancen.
Bis auf den letzten Satz ist #5 richtig.

[Lahmer Hannes]

@Wesdaq

Klar gibt`s auch eine offizielle Lösung.
Bist ja schon nah dran. Aber ich hätte es gerne etwas genauer, d.h. die genauen Gewinnwahrscheinlichkeiten.

@Neemann

Jetzt enttäuschst DU mich aber. So kenne ich Dich ja gar nicht, so ganz ohne präzise Lösung (oder zumindest einen Plan). Deine Vermutung ist jedenfalls falsch.

@gibniemalauf

Ich glaube, Du hast die Frage nicht richtig gelesen:
1) es geht um das Werfen einer Münze, nicht ums Würfeln
2) es wird nicht "abwechselnd" geworfen, sondern es kommt auf die geworfenen Sequenz an, unabhängig davon, wer jetzt eigentlich wirft!

Mehr will ich hier nicht verraten!


MfG LH

[Neemann]

@LH,

OK - sie fangen an zu spielen; "Z" fällt jetzt erstmals; beide sind in gleicher Ausgangslage - eine 2er-Sequenz steht an.

4 denkbare Folgen nach dem ersten "Z"
"ZZ" keiner gewinnt; beide wieder in gleicher Ausgangslage
"ZW" B hat gewonnen
"WZ" A hat gewonnen
"WW" keiner gewinnt; beide wieder in gleicher Ausgangslage

Also wo ist mein Denkfehler??

[Lahmer Hannes]

@Neemann

Das hab ich auch lange gedacht; ist aber (wohl) doch nicht so. Ich versuch`s mal zu erklären: Nach den ersten 3 Würfen stehen folgende 8 Dreiersequenzen mit gleicher Wahrscheinlichkeit an:

ZZZ
ZZW
ZWZ
ZWW
WZZ
WZW
WWZ
WWW

Wobei die beiden von A und B gewählten Sequenzen A und B jeweils einmal vorkommen (ZWZ und ZZW). Das ist soweit klar, oder? Sollte das Spiel nach 3 Würfen also noch nicht beendet sein, haben wir (gleich wahrscheinlich) folgende 6 Sequenzen:

ZZZ
ZWW
WZZ
WZW
WWZ
WWW

Für den nächsten Wurf, also den vierten, spielt dann die erste geworfene Münze keine Rolle mhr, man muß also nur die letzten beiden Ergebnisse betrachten:

ZZ
WW
ZZ
ZW
WZ
WW

Was hier auffällt: In nur einer der 6 Fälle kann A im nächsten Fall gewinnen, nämlich im vierten. Denn das ist die einzige Sequenz, die wie die "A-Gewinnsequenz" beginnt.
Im ersten und dritten Fall haben wir aber die "ZZ", die einen Gewinn von B im nächsten Wurf möglich macht.
B hat also zwar nach 3 Würfen noch die selbe Gewinnchance wie A, aber bereits ab dem vierten Wurf eine höhere.
Dieser "Effekt" verstärkt sich nach mehrern Würfen wiederum.


Ich überlasse jetzt noch Dir (oder den anderen Mitratern)
die genauen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!


MfG LH

[Lahmer Hannes]

@Neemann

Das hab ich auch lange gedacht; ist aber (wohl) doch nicht so. Ich versuch`s mal zu erklären: Nach den ersten 3 Würfen stehen folgende 8 Dreiersequenzen mit gleicher Wahrscheinlichkeit an:

ZZZ
ZZW
ZWZ
ZWW
WZZ
WZW
WWZ
WWW

Wobei die beiden von A und B gewählten Sequenzen A und B jeweils einmal vorkommen (ZWZ und ZZW). Das ist soweit klar, oder? Sollte das Spiel nach 3 Würfen also noch nicht beendet sein, haben wir (gleich wahrscheinlich) folgende 6 Sequenzen:

ZZZ
ZWW
WZZ
WZW
WWZ
WWW

Für den nächsten Wurf, also den vierten, spielt dann die erste geworfene Münze keine Rolle mhr, man muß also nur die letzten beiden Ergebnisse betrachten:

ZZ
WW
ZZ
ZW
WZ
WW

Was hier auffällt: In nur einer der 6 Fälle kann A im nächsten Fall gewinnen, nämlich im vierten. Denn das ist die einzige Sequenz, die wie die "A-Gewinnsequenz" beginnt.
Im ersten und dritten Fall haben wir aber die "ZZ", die einen Gewinn von B im nächsten Wurf möglich macht.
B hat also zwar nach 3 Würfen noch die selbe Gewinnchance wie A, aber bereits ab dem vierten Wurf eine höhere.
Dieser "Effekt" verstärkt sich nach mehrern Würfen wiederum.


Ich überlasse jetzt noch Dir (oder den anderen Mitratern)
die genauen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!


MfG LH

[Blochos]

3 Würfe, ehe einer gewinnen kann
Annahme: faire Münze
zu zählen ist erst ab 1.Wurf "Z", da beide Kombis mit Z beginnen

ZWZ: A gewinnt mit p=25%
ZWW: neues Spiel mit p=25%
ZZW: B gewinnt mit p=25%
ZZZ: B gewinnt beim nächsten W mit p=25%

Fazit:
B hat mehr als die doppelte Chance von A, er sich von den 50%, die er nicht direkt gewinnt, auch noch was ausrechnen kann.
Logisch argumentiert: B gewinnt, sobald ZZ fällt (=50%), hat aber auch noch bei WW eine Chance (auf ein Neuspiel)
P(A)=0.33333
P(B)=0.66666
Wer lust hat kann auch gerne rechnen (Excel hilft): A gewinnt mit 0,25hocheins plus 0,25hochzwei plus 0,25hochdrei usw. ergibt summasummarum 0.33333

Schöne Aufgabe für die Oberstufe. Läßt sich gut auch als Reihe darstellen...

[Neemann]

Hab meinen denkfehler bemertk - nach dem ersten Z sind für "ZZ" nicht beide in der gleichen Ausgangslage.

[Wesdaq]

d`accord! So leicht kommt man also mit dem richtigen Ansatz zum falschen Ergebnis.
Eine schöne Aufgabe!