Was sind Vollkommene Zahlen? - 500 Beiträge pro Seite

[MrBombastic]

und wie heissen die ersten 4 volkommenen Zahlen?

[anALysen]

Zeige:

Die Gleichung 2p+1=k³ hat außer der Lösung 2*13+1=3³ keine weitere Lösung, bei der p eine Primzahl ist.

Lösung:

Zu zeigen ist, daß für k!=3 keine Primzahl p existiert mit 2p+1 = k3
Ich sehe mir das mal näher an für gerade k.
Für gerade k ist k3 auch gerade. Aber 2p+1 ist ungerade. Da gibt es keine Lösung.
Wenn k ungerade ist, können wir k=2i+1 mit i>=2 schreiben.
Also k3=(2i+1)3 = 8i3+12i2+6i+1
Dann ist aber k3-1=(2i+1)3 -1 = 8i3+12i2+6i
Wenn nun für irgendeine Primzahl p gelten würde:
2p = k3-1 = 8i3+12i2+6i
dann würde das ja bedeuten, daß 2p durch i teilbar ist. Da p Primzahl sein soll, ist i=1 oder i=2 oder i=p.
Aus i=1 folgt die bereits angegebene Lösung mit k=3. Für i=2 können wir ausrechnen:
i=2 => (2i+1)3-1 = 124 = 22* 31 = 4 *31 und die Hälfte von 124 ist keine Primzahl p. Auch für i=p folgt eine unmögliche Gleichung.

Gesamtergebnis:

Für alle k!=3 gibt es keine solchen p.

Die nächste Aufgabe besteht darin, aus allen sechsstelligen Zahlen, die jede der Ziffern 0,1,2,3,4,5 jeweils genau einmal enthalten:

alle Primzahlen zu ermitteln
alle Quadratzahlen zu ermitteln
Zitat des Fragenden: Bei dieser Unmenge von Zahlen, weiß ich gar nicht, wie ich am sinnvollsten vorgehen soll .

Lösung:

Gibt es solche Prim- bzw. Quadratzahlen?
Die Quersumme einer solchen Zahl x ist 15, also ist x durch 3 teilbar aber nicht durch 9.

Zahlen, die durch 3 teilbar sind, sind keine Primzahlen. Die Antwort auf Frage 1 lautet also: "Es gibt keine Primzahl dieser Gestalt".

Wenn x aber eine Quadratzahl ist, dann muß sie durch jeden Primfaktor zweimal teilbar sein. Also wenn z.B. teilbar durch 3, dann auch teilbar durch 9. Folglich ist x keine Quadratzahl.

Wenn man es nicht schon weiß, dann muß man jetzt noch zeigen:

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Bzw. es reicht auch eine Richtung:

Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist auch die Quersumme durch 9 teilbar.

Und noch eine Strafarbeit:

Man soll angeben, auf wieviele Nullen das Produkt 1*2*...*125*126 endet.
Lösung:

Man muß die 2-en und 5-en in den Primfaktorzerlegungen der 126 Zahlen zählen.
Angenommen es sind 147 Zweien und 73 Fünfen (die Zahlen sind willkürlich genommen!), dann kann man daraus 73-mal das Produkt 2*5=10 bilden. Dann hätte das Produkt 73 Nullen am Ende.

Ach ja, das Zählen der Zweien kann man sich sparen. Es scheint mir sicher, daß es mehr Zweien als Fünfen gibt. Also ist die Anzahl der Produkte 2*5 allein durch die Anzahl der Fünfen in allen Primfaktorzerlegungen gegeben.

Man muß sich für diese Argumentation noch überlegen, daß aus anderen Primfaktoren als 2 und 5 niemals eine 10 oder ein Vielfaches davon entstehen kann.
Also 3*7 oder 2*7*11 usw. ergibt nie eine 0 am Ende der Dezimaldarstellung.
Jetzt zähle ich: Eine 5 ist in der Primfaktorzerlegung der durch 5 teilbaren Zahlen enthalten. Die erste davon ist die 5, die letzte die 125, insgesamt 25 Stück, also 25 mal die 5 in der Primfaktorzerlegung des Produkts. Zusätzliche 5-en kommen von den Zahlen, die die 5 zweimal in der Primfaktorzerlegung haben. Das sind 25, 50, 75, 100 und 125. Nochmal 5 Fünfen mehr. Und nicht zu vergessen, die Zahlen, deren Primfaktorzerlegung die 5 dreimal enthält. Das ist nur die 125, d.h. noch eine weitere 5. Insgesamt 31 Fünfen in der Primfaktorzerlegung des riesigen Produkts. Das macht also 31 Nullen am Ende der Dezimaldarstellung dieses Produkts.

Noch etwas aus der gleichen Kiste:

Zeige:

Ist die aus n Ziffern 1 bestehende Dezimalzahl (1111...1) eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl!

Lösung:

Wenn man eine aus n Einsen bestehende Zahl mit 9 multipliziert und Eins addiert, erhält man 10n.
Sei z eine aus n Einsen bestehende Zahl. Dann gilt also: z = (10n - 1) / 9
Wenn nun z eine Primzahl ist und wir aber annehmen, daß n keine Primzahl ist, dann gibt es Zahlen 1
Ich behaupte nun, daß dann die genau aus p Einsen bestehende Zahl ein Teiler von z ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Vorraussetzung z prim. Also war die Annahme, daß n nicht prim ist, falsch.

Die Zahl aus genau p Einsen kann ich schreiben als:

(10p-1)/9

Zum Beweis der Teilereigenschaft:

Betrachte (10n-1) / (10p-1). Mit der Methode der Polynomdivision ergibt das:

= 10n-p*(10p-1) + 10n-p - 1
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + 10n-2p - 1
usw. das ganze q-mal (denn n/p = q).
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + ... + 10n-(q-1)p*(10p-1) + 10p - 1
= 10n-p*(10p-1) + 10n-2p*(10p-1) + ... + 10n-(q-1)p*(10p-1) + 1*(10p-1)
Es ist nämlich n-(q-1)p = p
Diese Division geht also auf ohne Rest.

Darum ist (10p-1) ein Teiler von (10n-1).
Und weil wir wissen, daß beide Zahlen das 9-fache von ganzen Zahlen sind, ist auch (10p-1)/9 ein Teiler von (10n-1)/9 = z !
Ausserdem ist (10p-1)/9 kein trivialer Teiler von z, denn einmal ist (10p-1)/9 < z und auch 1 < (10p-1)/9, denn weil p Primzahl ist, ist p>1.
Und zuletzt etwas von Euler:

Falls p=2n-1 eine Primzahl ist, so ist 2n-1*((2n-1) eine vollkommene Zahl.
Jede vollkommende Zahl a ist von der Art a=2^(n-1)*((2^n)-1).

Lösung:

Ich will den Beweis mal versuchen...
Beh.: Falls p = 2n-1, so ist m = 2n-1*(2n-1) eine vollkommene Zahl.
Es ist m = 2n-1*(2n-1) = 2n-1 * p.
Welche Teiler hat m?
Erstens überlegt man sich, welche Teiler von m den Primfaktor p enthalten:
p,2p,4p...,2n-1*p
und dann überlegt man sich, welche Teiler von m den Faktor p nicht enthalten:

1,2,4,...,2n-1
Die Summe der Teiler, die den Faktor p enthalten, ist Sn-1 i=0 p*2i = p*Sn-1 i=0 2i = p * (2n-1)
Die Summe der Teiler, die den Faktor p nicht enthalten, ist Sn-1 i=0 2i = 2n-1

Zusammen:

Summe aller positiven Teiler von m = p * (2n-1) + (2n-1) = (p+1)*(2n-1) = (2n-1+1)*(2n-1) = 2n*(2n-1) = 2 * 2n-1*(2n-1) = 2m
Also ist m vollkommen!
Und aus der hier geführten Argumentation folgt auch schon die zweite Behauptung, die ja die Umkehrung der ersten ist.

AL
( )

[Merikhi]

Für mich isr 6 eine Vollkommenen Zahl. Ich meine, mein Sex ist vollkommen!

[MrBombastic]

#3
Unglaublich aber war. 6 ist tatsächlich eine vollkommene Zahl! !!!!!!

[einerdermeint]

#2

also ich hab das jetz mal nachgerechnet und... hicks, i glaub des stimmt

und im moment sind 2500, 50, 60 und 40 vollkommen (wichtige) zahlen

[Nelloz]

#3
Könnte es sein, daß 6 dich an die Schulzeit erinnert?

[GandhiAB]

HAB ich was verpasst??

Ist Heute internationaler Mathetag?

[MrBombastic]

#7 Gandhi
Eigentlich sind die Inder gute Mathematiker. Du du musst es also schon in der Schule verpasst haben!

[GandhiAB]

@8
Na ja ICH hab wenigstes lesen gelernt.
schau mal Thread 713820.

[MrBombastic]

#9
Aber A hatte nicht gelogen! Nur E und B!

[MrBombastic]

6 ist durch 1, 2 und 3 teilbar.
Die Summe der ganzzahligen Teiler von 6 ergeben wieder 6

1+2+3 = 6

28 ist durch 1, 2, 4, 7 und 14 teilbar und die Summe:
1+2+4+7+14=28 ergibt wieder 28. 6 und 28 sind also vollkommene Zahlen. Jetzt bleibt es euch, die nächsten zwei vollkommene Zahlen zu finden.
und noch etwas:
1+2+3+4+5+6+7 ist wieder 28. Das heißt alle vollkommenen Zahlen lassen sich durchs Addieren von einer Folge von Natürlichen Zahlen (angefangen mit 1) repräsentieren.

[Quadro]

Zahlen, vollkommene Nach Pythagoras hängt die Vollkommenheit einer Zahl von ihren echten Teilern ab (den Zahlen, durch die sie ohne Rest dividiert werden kann, ohne die Zahl selbst). Die Teiler von 12 zum Beispiel sind 1, 2, 3, 4 und 6. Wenn die Summe der Teiler einer Zahl größer ist als die Zahl selbst, wird sie als »abundante« Zahl bezeichnet. Die 12 ist somit eine abundante Zahl, weil ihre Teiler zusammen 16 ergeben. Wenn hingegen die Summe der Teiler einer Zahl kleiner ist als sie selbst, wird sie »defiziente« Zahl genannt. Die 10 ist eine defiziente Zahl, weil ihre Teiler (1, 2 und 5) zusammen nur 8 ergeben. Ganz besondere und seltene Zahlen sind solche, deren Teiler addiert genau sie selbst ergeben - dies sind die vollkommenen Zahlen. Die 6 hat die Teiler l, 2 und 3 und ist daher eine vollkommene Zahl, denn 1 + 2 + 3 = 6. Die nächste vollkommene Zahl ist 28, denn 1+2+4+7+14=28. Die mathematische Vollkommenheit der 6 und der 28 hatte nicht nur Bedeutung für den pythagoreischen Bund, sondern auch für andere Kulturen, die zum Beispiel beobachteten, daß der Mond die Erde in 28 Tagen umkreist, und erklärten, Gott habe die Erde in 6 Tagen erschaffen. Der heilige Augustinus verkündet im Gottesstaat, Gott hätte die Welt zwar in einem Augenblick erschaffen können, er habe sich jedoch für die sechs Tage entschieden, um die Vollkommenheit des Universums darzutun. Augustinus traf die wichtige Feststellung, die 6 sei nicht deshalb vollkommen, weil Gott sie gewählt habe, vielmehr sei ihr diese Vollkommenheit wesenseigen. »Die 6 ist an und für sich eine vollkommene Zahl, doch nicht weil Gott alle Dinge in sechs Tagen erschaffen hätte. Das Gegenteil ist wahr: Gott schuf alle Dinge in sechs Tagen, weil diese Zahl vollkommen ist. Und sie würde vollkommen bleiben, selbst wenn das Werk der sechs Tage nicht existierte.« - (ferm)