Neuer Mathetest - 500 Beiträge pro Seite

[matthes61]

Ahoi,

meine Kollegen (Mathematiker, Physiker ) sind gerade dabei, die Hausaufgaben von einer Tocher einer Kollegin zu lösen (9.Klasse) und haben noch nicht die Begründung für die Falschheit folgender Gleichung gefunden:

-8 = (-2) hoch 3 = (-2) hoch 6/2 = Wurzel aus (-2) hoch 6 = 8

Das kann man sicherlich besser aufschreiben - ich kann es nicht.

So ... ich will mich wichtig machen und brauche jetzt eine tolle Begründung für die Unrichtigkeit der Gleichung .
Danke.

[Kwerdenker]

Zieht man die Wurzel aus einer negativen Zahl gehört das Vorzeichen doch vor die Wurzel, oder?

KD

[Philmuc]

Halllo mathes61

ich glaube den fehler gefunden zu haben...

beim Übergang auf die quadratwurzel steht zu beginn

unter der Wurzel -2 wurzel aus minus ist ist eine

imaginäre zahl und zwar wurzel (+2) mal i

damit ist klar dass ( -2) hoch 6/2 nicht gleich 8 ist

[for4zim]

Trivial.

-8 ist nicht einfach gleich -2^3, da auch -2*2^2 eine gleichwertige Lösung wäre, ebenso (2i)^2*2, wenn ich komplexe Zahlen hinzunehme. Alle weiteren Gleichungsschritte setzen voraus, daß -2^3 die einzige Lösung für -8 wäre.

[hermine_schotter]

sowas konnte ich mal ???

[for4zim]

Ups, #3 ist eine noch bessere Erklärung.

[big_mac]

nö, löst sich so auf: 6/2 = 3, und damit haben wir (-2)^3

ich nehme an, daß der fehler (so er existiert!) bei der schreibweise von #1 nicht sichtbar ist, da die erforderliche mathematische präzission fehlt

[for4zim]

#7, das ist nicht das Problem - natürlich kann man Terme aufspalten und zum Beispiel Faktoren bilden und neu gruppieren.

Worum es hier geht, ist, daß einige der Gleichungen, nämlich die ganz linke und die ganz rechte nicht eindeutig, also nicht streng äquivalent sind - jedesmal, wenn ich eine Wurzeloperation vornehme, muß ich eine Fallunterscheidung vornehmen. Entweder in der Form, wie in #3 oder wie in #4...

[Wavetrader]

Ich finde keine Erklärung überzeugend.

Die Frage ist, ob die Formel: x ^6/2 =

2. Wurzel aus (x^6)

oder

(2. Wurzel aus x)^6

bedeutet. Beides müsste zulässig sein!

Klassisch ist das erste. Da kommt eben 8 raus.

Beim zweiten, wie #3 richtig schrieb, Wurzel (-2) = Wurzel (2) * i. Das ist hoch 6 genommen -8.

#4: Doch: -8 IST (-2)^3. Ich bin sicher, der Knackpunkt liegt an der Exponentenumwandlung.

[Wavetrader]

... an der Exponenten-Wurzelumwandlung.

[matthes61]

#all
Bis hierhin erstmal vielen Dank an alle.

#3
Klingt zwar gut, da es sich um eine Aufgabe aus der 9. Klasse handelt, glaube ich nicht, dass mit imaginären Zahlen argumentiert werden kann (ich hatte die erst in der 12. Klasse).

#2
kommt meiner Vermutung am Nähesten, aber gibt es da für nicht irgend ein Gesetz, das an dieser Stelle genannt werden kann.

#7
Der Fehler ist da wirklich irgendwo, aber präziser konnte ich es wirklich nicht aufschreiben ... ich habe keine Wurzeltaste

[TylersSchatten]

Ist das jetzt wichtig?
Braucht man das? Jäger- und sammlertechnisch gesehen.

[big_mac]

(-2)hoch 6/2 sollte wohl (-2)^(6/2) heißen, weil sonst heißt es ((-2)^6)/2=-32

[matthes61]

#13
yep, Danke für die Präzisierung

[Wavetrader]

Meine Vermutung daher:

Der Grund für die Unrichtigkeit der Gleichung liegt darin, dass die Formel x^(a/b) = b. Wurzel aus (x^a) nur für x >= 0 gilt.

[for4zim]

Um es noch präziser zu machen: das Problem ist im Grunde -2^(6/2) bzw. (-1)^(6/2)*2^(6/2).

Hier ist nun die Anwendung der Potenzen nicht kommutativ, weil Quadratwurzel((-1)^6) ungleich (Quadratwurzel(-1))^6 ist. Ersteres ist gleich 1, letzteres (mit komplexen Zahlen) gleich -1. Und ich denke, daß es hier tatsächlich um die Nichtkommutativität der Anwendung der Potenzen geht und somit die Nichtäquivalenz (oder Uneindeutigkeit) der Seiten der Gleichungen, sobald eine Wurzel gezogen wird.

[for4zim]

#15, wenn komplexe Zahlen noch nicht definiert wurden, ist das natürlich richtig: dann ist die Quadratwurzel aus negativen Zahlen schlicht nicht definiert.

[Wavetrader]

#17: Ja, aber die Einschränkung gilt auch nach der Definition komplexer Zahlen - sie müsste immer wegen der besprochenen Doppeldeutigkeit der Klammersetzung notwendig sein!

Über das Thema steht bestimmt etwas in einem wirklich dicken Mathelexikon

[Kwerdenker]

#16

Darf ich das als Laie so verstehen, dass ich mit #2 nicht ganz daneben lag

Wenn ich mich recht erinnere, gab es für solche Fragestellungemn oft die Auflösung derart,
dass mehr als ein Lösung zulässig war.
Genau das würde ich hier auch vermuten.

KD

[matthes61]

Danke, zum Wichtigmachen auf hohem Niveau sind Eure Antworten schon sehr hilfreich

[for4zim]

#19, nein, #2 ist sicher falsch, denn man kann Vorzeichen nicht aus einer Wurzel herausziehen. Quadratwurzel(-1) ist ungleich -Quadratwurzel(1).

#18, natürlich gilt die Einschränkung auch nach der Definition komplexer Zahlen: bei Quadratwurzeln muß man Fallunterscheidungen vornehmen, sobald eine negative oder eine komplexe Zahl darunter steht. Dann hat man eben keine Gleichung mehr. Mit komplexen Zahlen hat man dann mehrere Fälle, ohne ist die Wurzel nicht definiert.

#20, gern geschehen,

[big_mac]

#16 gefällt mir als antwort sehr.

[Dirac]

for4zim hat recht.
Es ist die Stelle
(-2) hoch 6/2 = Wurzel aus (-2) hoch 6
die falsch ist (und zwar sowohl bei reellen als auch bei komplexen Zahlen)

Gruß Dirac

[Wavetrader]

#21 als Antwort zu #18: Ich muss widersprechen. Die Definition der komplexen Zahlen an sich impliziert keine Fallunterscheidungen: Wurzel (-1) ist i. Eindeutig! Wurzel aus (1) = 1. Eindeutig!

Bei Gleichungen x^2 = a müssen wir hingegen für a ungleich 0 immer Fallunterscheidungen treffen.

[Wavetrader]

#23: Du meinst vermutlich "negativ" statt "reell"

[nautiker]

for4zim , ich bin doch mal wieder erstaunt , dass du SO gut bescheid weißt .
du solltest deinen job beim fernsehen an den nagel hängen !

[Dirac]

@wavetrader
Nein, ich meine schon reelle und komplexe Zahlen!
1. Bei reellen Zahlen ist Wurzel aus (-2) nicht definiert und die Aufgabe deshalb ab dieser Stelle sinnlos.
2. Bei komplexen Zahlen ist Wurzel aus (-2) zwar definiert (nämlich als i mal (Wurzelaus2)), aber das Ergebnis von
(i mal (Wurzelaus2))hoch 6 ist nicht 8 (sondern -8!!)


Für Ungläubige sei der Fall 2. hier vorgerechnet:
(i mal (Wurzelaus2))hoch 6 =
(i hoch 6) mal ((Wurzelaus2) hoch 6)=
-1 mal 8 = -8

Gruß Dirac

[Wavetrader]

#27: Nun hast du dir selbst widersprochen. -8 soll doch gerade herauskommen! Also wäre es in deinem Posting für komplexe Zahlen richtig!

Das Entscheidende ist, dass die Reihenfolge (zuerst 2. Wurzel ziehen oder zuerst potenzieren) das Ergebnis verändert, wie es z.B. in #9 beschrieben wurde.

Das hat nichts mit komplex oder reell zu tun - es tritt bei allen negativen Radikanden auf (hier -2), wenn die Potenz (hier 6) gerade ist!

[Dirac]

@wavetrader
Lies dir doch noch mal die Aufgabenstellung durch.
Es wird behauptet, dass -8 = +8 ist. (Es soll also +8 rauskommen und das tut es nicht!!!)

(Außerdem:Ich glaube mit komplexen Zahlen hast du keine großen Erfahrungen)

Gruß Dirac

[Wavetrader]

Dirac, die Aufgabenstellung ist: Warum ist diese Gleichung unsinnig? (dass es sich so verhält, ist offensichtlich, da 8 = -8 unwahr ist)

Nun haben wir dafür verschiedene Erklärungen gelesen.

Du hast nun behauptet: Die von for4zim als Erklärung genannte Umwandlung wäre falsch "für reelle als auch komplexen Zahlen"

(Die falsche Umwandlung wäre die Erklärung, warum die Gleichung unsinnig ist).

Anschließend legst du aber dar, dass für komplexe Zahlen -8 herauskommt. Damit wäre die Gleichung aber sinnig, also richtig!

Und: Ich will nicht angeben, aber ich habe das Gefühl, dass deine Spitze gegen mich in deiner eigenen Unsicherheit mit komplexen Zahlen liegt. Deine Unsicherheit würde erklären, dass du dir selbst widersprochen hast.

Ansonsten steht es dir frei, eine einzige Aussage von mir zu komplexen Zahlen zu widerlegen.

Nochmal: Die Gleichung ist nicht nur deshalb unsinnig, weil komplexe Zahlen eine Rolle spielen. Ansonsten belege dies hier mit Aussage und Beweis, wie es sich für einen Mathematiker gehört

[Wavetrader]

Noch ein Fehler in #29: -8 "soll" herauskommen (nicht 8), wenn die Umwandlung zur Wurzel (also "von links nach rechts") richtig WÄRE.

[Wavetrader]

Um es noch deutlicher zu machen:

#23 (Zitat)

Es ist die Stelle
(-2) hoch 6/2 = Wurzel aus (-2) hoch 6
die falsch ist

#27: Hier hast du ausführlich dargelegt, dass nun auf der RECHTEN Seite -8 herauskommt, wenn man komplexe Zahlen zulässt.

Die linke Seite deiner Stelle ist aber zweifelsfrei auch gleich -8!

Also müsste die "Stelle" nach DEINER Ausssage doch richtig sein, denn deine Stelle heißt -8 = -8.

[Dirac]

@wavetrader
Nichts für ungut, aber ich habe den Eindruck, du hast meine Texte nicht verstanden. Lies Dir doch bitte #1 und #27 noch mal durch.
In #1 steht -8 = +8 und das ist ja offensichtlich falsch.
In #27 steht, warum es falsch ist.

Gruß Dirac

[Dirac]

Einen Schreibfehler habe ich gemacht (Beim "paste and copy"), in #23 muss es heißen:

for4zim hat recht.
Es ist die Stelle
(-2) hoch 6/2 = Wurzel aus (-2) hoch 6 = 8
die falsch ist (und zwar sowohl bei reellen als auch bei komplexen Zahlen)


Gruß Dirac

[Wavetrader]

#33: Siehe #32

Du rechnest aus -8 = -8

[Dirac]

Das ist es ja gerade.
Ich habe richtig ausgerechnet -8 = -8 (für komplexe Zahlen)!
Also ist die Behauptung von #1, nämlich -8 = +8 falsch!

Für reelle Zahlen ist die Rechnung in #1 sowieso falsch, weil für reelle Zahlen Wurzel aus (-2) nicht definiert ist!

Also ist die Behauptung von #1 falsch.

Alles klar?

Dirac

[plowy]

Wavetrader hat hier eindeutig recht (#15). Umformungen wie a hoch (2 durch 3) = a hoch (4 durch 6) – also Erweitern bzw. Kürzen des Exponenten - sind nur für a >= 0 erlaubt – laut Regeln zur Exponentialrechnung. Sollte der Exponent negativ sein, muss natürlich a > 0 vorausgesetzt werden.
Deshalb ist (-2)^3 = (-2)^(6/2) nicht legitim, und zwar eben deshalb, weil es sonst zu solchen falschen Aussagen wie in #1 mit –8 = 8 führen kann.
Gruß plowy

[Wavetrader]

#36 Dass du -8 = -8 ausrechnest, ist also kein Widerspruch zu deinen vorherigen Aussagen mehr, aber dennoch falsch.

Du nimmst nämlich stillschweigend eine bestimmte Klammersetzung an. Setzt du sie anders, kommst du auf 8. In #16 von for4zim steht es ausführlich.

#34:

Es ist die Stelle
(-2) hoch 6/2 = Wurzel aus (-2) hoch 6 = 8
die falsch ist

JA (siehe for4zims Posting)

(und zwar sowohl bei reellen als auch bei komplexen Zahlen)

NEIN, deine Verallgemeinerung stimmt SO nicht, da du deine Zahlenmengen offensichtlich auf die Variablen beziehst.

Nimm statt 6 mal 5 als Exponenten. Dann ist deine Verallgemeinerung falsch.

[matthes61]

Die Aufschreibe in #1 ist wirklich unglücklich und hat deswegen in den letzten Postings für Verwirrung gesorgt, denn eigentlich wird keine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen, weil, wenn zuerst die Potenz berechnet wird und dann die Wurzel gezogen wird, kommt es zu diesem falschen Ergebnis. 9. Klasse und imaginäre Zahlen passen für mich nicht zusammen.

Mein Favorit ist #16.

Hoffentlich passt die Göre wenigstens bei der Vorstellung der Lösung auf.

[Dirac]

@plowy
Das bestreitet doch niemand! Das lernt man in der 9. oder 10. Klasse (glaube ich). Ich argumentiere ja genau so (nämlich das Wurzel aus (-2) verboten ist).
Aber das gilt nur für reelle Zahlen .
Für komplexe Zahlen ist dies aber erlaubt!!!
Ich habe in #27 bewiesen, dass die Aussage#1 auch für komplexe Zahlen falsch ist!!

Dirac

[Wavetrader]

#40: Tut mir leid, aber #27 beweist weder, dass #1 falsch ist (was wir aber eh schon wissen), noch zeigt es, warum.

#39: Ich habe nichts dagegen, aber wieso ist dein Favorit #16, wenn du komplexe Zahlen ausschließen willst? for4zim argumentiert hier ausschließlich mit komplexen Zahlen.

[Karl]

...man kanns noch einfacher sagen:

man kann einen term jederzeit umformen, solange der term eben eindeutig gleich bleibt.
da aber die quadratwurzelfunktion immer zwei lösungen hat, egal ob imaginär oder reell, ist die eindeutigkeit mit einführung dieser funktion nicht mehr gegeben...

[Dirac]

@wavetrader:
Bitte lies genau! Ich habe nichts verallgemeinert!!
Ich habe für den Exponenten 6 und die Basis -2 bei komplexen Zahlen bewiesen, das die Aussage #1 falsch ist.

Gruß Dirac

[Wavetrader]

#43: OK, wenn es keine Verallgemeinerung werden sollte, dann ist dieser Satz natürlich richtig.

[Wavetrader]

#42: Nein: 2 = Wurzel (2*2) = Wurzel (4) = 2. Ist doch eindeutig.

Es kann natürlich verwirren, dass die Mathematik das Ergebnis einer Wurzel eindeutig definiert, die Lösung einer Gleichung wie x^2 = 4 aber folgende Lösung hat: x = + Wurzel(4) V (Oder-Zeichen) x = - Wurzel(4)

[Karl]

#42: Nein: 2 = Wurzel (2*2) = Wurzel (4) = 2. Ist doch eindeutig.
eben nicht. wurzel(2*2) ist eben nicht eindeutig 2. sondern 2 oder -2...

[Wavetrader]

#46: Nein, das ist so falsch. Siehe #45 zweiter Absatz.

Der Grund ist, wie die Wurzelfunktion ist der Mathematik definiert wurde. Und zwar als Umkehrung der Potenzfunktion. Bei Funktionen gehört aber wiederum nach ihrer eigenen Definition zu einem Element des Definitionsbereiches immer genau EIN Element im Wertebereich. Daher ist die Wurzel aus einer Zahl immer eindeutig. Das hat man bei den komplexen Zahlen weitergeführt: Wurzel (-1) = i.

[Karl]

oh mann, schönes wortgeklaube. ist absolut richtig, was du sagst. definitionsgemäss kann ich dann ja für alle zahlen beweisen, dass x = -x
trotz deiner wahnsinnig exakten begründung ändert sich nichts daran, dass (-2)^2 genau dasselbe ergibt wie 2^2, die umkehrfunktion ist aber eindeutig definiert. daher ist die einführung der wurzelfunktion hier nicht erlaubt.

[Quirli]

damit Ihr Euch nicht erst prügelt:

Wurzel (Mathematik)

In der Mathematik ist die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion des Potenzierens.
Beispiel:
x³=8 <--> Dritte Wurzel aus 8
Allgemein gilt:

die n-te Wurzel aus x hoch n ist gleich x

wobei x eine positive Zahl ist und n aus den reellen Zahlen stammt (meist ist aber n aus den natürlichen Zahlen interessant). Im Allgemeinen kann nur aus positiven Zahlen die Wurzel gezogen werden, das Ergebnis ist immer positiv. Nur ungerade Wurzeln können aus negativen Zahlen gezogen werden. Um auch geradzahlige Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können, muss man in die Menge der komplexen Zahlen ausweichen.
Die Wurzel ist selbst eine Potenzfunktion, es gilt:

die n-te Wurzel aus x hoch m ist gleich x hoch m/n

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen.

Das Wurzelziehen heißt auch Radizieren (von lateinisch radix, die Wurzel). Es wurde vom deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt.

Der Term unter dem Wurzelzeichen wird als Radikant bezeichnet.

Da das Potenzieren nicht kommutativ ist, gibt es noch eine zweite Umkehrfunktion, den Logarithmus.

*Vorlesung beendet

[Wavetrader]

#48:
trotz deiner wahnsinnig exakten begründung ändert sich nichts daran, dass (-2)^2 genau dasselbe ergibt wie 2^2

Dass stand nicht zur Debatte und wurde von mir nicht bestritten. Du musst schon damit leben, dass deine Aussagen in einem Thread mit dem Thema "Mathetest" als wahr oder unwahr betitelt werden, so wie du sie formuliert hast.

In Ergänzung zu #49: Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Definition: Die Quadratwurzel einer nicht-negativen reellen Zahl x ist diejenige nicht-negative reelle Zahl r, deren Quadrat r^2 = r mal r gleich x ist.

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel

[Quirli]

ja und wie ist das jetzt mit dem Logarithmus

[Karl]

Dass stand nicht zur Debatte und wurde von mir nicht bestritten. Du musst schon damit leben, dass deine Aussagen in einem Thread mit dem Thema " Mathetest" als wahr oder unwahr betitelt werden, so wie du sie formuliert hast.

schön. dann nimm aber auch die ganze aussage.
"dass (-2)^2 genau dasselbe ergibt wie 2^2, die umkehrfunktion ist aber eindeutig definiert. daher ist die einführung der wurzelfunktion hier nicht erlaubt."

nochmal: #1 redet von 9.klasse...

[plowy]

@ karl

Viele Leute verwechseln: x^2 = 4 hat genau zwei Lösungen, nämlich -2 und 2, dagegen ist "Wurzel aus 4" eindeutig 2, siehe oben die Def. von Wavetrader.

@ dirac

Kann dir leider nicht recht geben (#40). in #1 wird nirgends die Wurzel aus -2 gezogen worden, trotzdem erhält man Schrott.

Mein Vorschlag, wir sollten uns daraut einigen, wie "wavy" es formuliert hat: Potenzen mit echten (auch negativen) Brüchen als Hochzahlen sollten positive Basen haben, ansonsten gelten die üblichen Potenzregeln nicht. Ist eigentlich allgemein anerkannt. Und: Da hilft auch das Komplexe nicht, wenn die Regeln in einer Teilmenge von /C nicht gelten, dann können sie in /C erst recht nicht gelten.
Angenehme Nachtruhe
plowy

[plowy]

@ wavy

Sorry, du hast in #45 schon meine in #53 an Karl gerichtete Aussage getätigt.


@ Quirli

Ich könnte mir zwar vorstellen, dass es schlampige Professoren gibt, die aus –8 die dritte Wurzel ziehen, jeder gängige Tascherechner tut es. Es ist aber trotzdem falsch.
Die Definition in #50 gilt (noch????).

Aber: Was gilt heute eigentlich noch?? Redet nicht die verehrte userin „paepstin“ im Linti-Frauen-thread von der „herrgöttin“.

Jetzt aber wirklich: Gute Nacht, plowy

[1992]

Wurzel mal Knolle geteilt durch...

Manche Menschen versuchen Frauen zu verstehen. Andere beschäftigen sich mit einfacheren Dingen, z. B. der Relativitzätstheorie (A. Einstein).

[Quirli]

Ich bin aber noch gar nicht Professorin, und schlampig schon gar nicht

es müssen erst noch ein paar alte Knochen emeritieren

[plowy]

> Ich bin aber noch gar nicht Professorin, und schlampig schon gar nicht.

Kommt Zeit, kommt Professur, nur Geduld Quirli.

#55, ob Einstein da mit der Einfachheit so ganz recht hatte?

[Quirli]

Wann darf man dich zu den Emeriti zählen?