Portfoliotheorie (portfolio theory) (Seite 4)

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Antwort auf Beitrag Nr.: 75.140.689 von faultcode am 21.01.24 22:32:22

das Minimum Correlation-Portfolio ist wirklich interessant. Hier noch seine Gewichte:

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Zwischendurch mal zwei Performance-Charts:

(1) alle bisher besprochenen Portfolios:



..die Ende 2023 in dieser Reihenfolge eingelaufen sind:



• TG = Tangent portfolio (Maximum Sharpe ratio portfolio)
• HCAA = Hierarchical Clustering based Asset Allocation portfolio
• MC = Minimum Correlation-Portfolio
• MD = Most Diversified-Portfolio
• EW = Equal weight portfolio
• HERC = Hierarchical Equal Risk Contribution portfolio
• HRP = Hierarchical Risk Parity portfolio
• GMVP = Global Minimum Variance portfolio


(2) hier ohne die beiden Top-Performance-Portfolios TG und HCAA, nun mir dem Minimum Correlation-Portfolio in Führung

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Update Vola-Rendite-Diagramm mit dem Minimum Correlation-Portfolio (MC):



=> es hat also bei (fast) gleicher Vola ein bischen mehr Rendite gezeigt als das Most Diversified-Portfolio (MD)

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Antwort auf Beitrag Nr.: 75.137.889 von faultcode am 20.01.24 22:49:24

Magnificent 7: Minimum Correlation-Portfolio: Varianz(MC) = Varianz(MD); Hedging-Potenzial

wie man aus der Präsentation von oben sehen kann (https://www.northinfo.com/documents/616.pdf), ist das Minimum Correlation-Portfolio (MC) eng mit dem (bekannteren) Most Diversified-Portfolio (MD) verwandt:




Aber jetzt kommt der Clou an der Sache. Man kann nämlich die Gewichte des MC-Portfolios, anders als bei den anderen Mean-variance-Portfolios, ganz ohne die Optimierung mit einem Solver lösen

Hier eine einfache Rezeptur dazu: https://breakingdownfinance.com/finance-topics/modern-portfo…

Das habe ich auch so gemacht mit Hilfe von diesem R-Code unter "Minimum Correlation Portfolio": https://github.com/systematicinvestor/SIT/blob/master/R/min.…

Damit erhalte ich also meine unspektakulären Gewichte für das MC-Portfolio und kann nun laut oben nachrechnen, ob die Varianz dieses Portfolios mit der des MD-Portfolios übereinstimmt.
(nebenbei: ich habe das MD-Portfolio mit den Gewichten aus RiskPortfolios-Paket verwendet; das FRAPO-Paket macht Probleme mit den anderen, notwendigen und zuvor geladenen Paketen)

Leider wieder nicht ganz

Die 5-Jahres-Varianz, die sich laut oben aus:

Gewichte(MC)|transponiert * Korrelations-Matrix der Tagesrenditen über 5 Jahre * Gewichte(MC)

..ergibt zu:
• 0.6213311 (100.00%)

..liegt nämlich oberhalb der 5-Jahres-Varianzen, die ich wie gehabt aus den 5-Jahres-Vola's errechnete:
• MD-Portfolio: 0.6101157 (98.19%)
• MC-Portfolio: 0.6093727 (98.08%)

Immerhin, die MC- und MD-5-Jahres-Varianzen aus den jeweiligen Vola's liegen nicht so weit auseinander und auch in einem gewissen Abstand zu den anderen Varianzen:




In diesem etwas älteren Papier vom selben Autor (https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2238578) (+) wird nochmal die Sache mit der normalisierten Varianz des MC-Portfolios erklärt:

The normalized variance of the MCP is calculated by setting all volatilities equal to one: (3) ...
...
(3) The normalized variance of any portfolio is simply the variance of the portfolio with all volatilities set equal to one.
...


Hedging-Potenzial:

Aus (+), Seite 5/42 ergibt sich: die Normalized variance of the minimum correlation portfolio (NVMCP) liegt mit ~0.61 deutlich über 1 / N = 1 / 7 = ~0.14 und damit ergab sich aus dem Magnificent 7-Portfolio von 2019 bis 2023 keinerlei Hedging-Potenzial.

Das würde nämlich erst vorliegen bei NVMCP < 1/N, weil es dann (genügend) Komponenten in einem Anlage-Universum gab, die gegenläufig gelaufen sind.

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Michaud Portfolio Optimization: Resampled Efficiency

Zu:

Zitat von faultcode:
PortfolioAnalytics ist auch so nett und lässt mich die Gewichte aller Portfolios auf der Efficient frontier anzeigen (chart.EF.Weights()-Funktion):


...

Man sieht auch sehr gut, wie die Gewichtsverteilung irgendwo hinter Portfolio #19 (bei 20 Stütz-Portfolios) radikal in eine Portfolio-Konzentration mit am Ende 100% Tesla hineinfällt. ...

Es ist schon lange bekannt, daß Schätzfehler bei den Renditen (Moment 1. Ordnung) und Varianzen bzw. Kovarianzen (Moment 2. Ordnung) bei der Mean-Variance-Optimierung (MVO) zu Problemen führt, siehe z.B.:

1993: The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice, Vijay Kumar. Chopra, William T. Ziemba: https://www.pm-research.com/content/iijpormgmt/19/2/6 (*)

Vor allem bei den zu erwarteten Renditen ist das ein Problem, weniger bei den Varianzen bzw. Kovarianzen. Da wurden dann Dinge gemacht, wie die erwarteten Renditen alle zu null oder eine positive Konstante für alle Komponenten zu wählen.

Laut oben (*) liegen die Auswirkungen von Schätzfehlern bei den Renditen um eine Größenordnung höher als die Auswirkungen von Schätzfehlern bei den Varianzen bzw. Kovarianzen (wenn der Investor ein höheres Risiko eingehen will). Letztere beeinflussen die Gewichtsverteilung bei der MVO nicht sonderlich relativ gesehen zu Ersteren.

Ab 1998 gab es dann die Idee diesen Schätzfehlern auf der Efficient frontier mittels Monte-Carlo-Simulation zu begegnen, um den Unsicherheiten bei der Informationsgewinnung (die erwarteten Renditen sind welche?) Rechnung zu tragen: https://academic.oup.com/book/52209?login=false
--> Update 2007: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2658657

=> mit diesem Resampling ergeben sich weichere Übergänge bei den Portfoliogewichten entlang der Efficient frontier, z.B.:


https://www.r-bloggers.com/2021/05/markowitz-v-s-michaud-por… (+)


Dieser harte Übergang oben bei der Gewichtsverteilung bei Tesla irgendwo hinter Portfolio #19 ist also ein Feature der klassischen Mean-Variance-Optimierung, kein Bug

Ich werde aber so ein Resampling der Efficient frontier nicht machen. Ich wollte das nur mal posten, so daß man mal den Namen Michaud gehört hat.

[faultcode]

Antwort auf Beitrag Nr.: 75.137.904 von faultcode am 20.01.24 23:04:14

<zu früh auf RETURN gedrückt...>

Man könnte an dieser Stelle natürlich darüber nachdenken, ein Portfolio zu suchen, welches den DD*-Wert statt des DR-Wertes maximiert (das werde ich aber nicht tun).

Ich würde schon sagen, daß auch vor dem Hintergrund der recht modernen Diversification Delta star-Metrik (2017) das Most Diversified-Portfolio, auch gegenüber dem Dauerläufer gleichgewichtetes Portfolio, immer noch seine (theoretische) Berechtigung hat.

[faultcode]

Antwort auf Beitrag Nr.: 75.137.889 von faultcode am 20.01.24 22:49:24

Magnificent 7, 2019 - 2023: Most Diversified-Portfolio (5/5) -- DR und DD*

noch zum Beitrag Nr. 39 mit der Diversification Delta star-Metrik. Ich habe ja dazu u.a. indirekt gesagt, daß mit jene Metrik sehr gut gefällt:

Zitat von faultcode: ... => deutlich mehr Spreizung der Werte als noch mit dem Diversification Ratio (DR) aus Beitrag #35: ...

=> hier also ein Update mit der DD*-Metrik für das MD-Portfolio:



=> wie man sieht, hat das MD-Portfolio sich auch hier an die Spitze geschoben und das sogar mit einem gewissen Abstand zum bisher führenden gleichgewichteten Portfolio (EW)

[faultcode]

Magnificent 7, 2019 - 2023: Most Diversified-Portfolio (4) -- Sigma(MD) = 1 / DRmax

Zitat von faultcode: ... Auch hat das MD ein paar mathematisch interessante Eigenschaften, ein Punkt an dem ich zunächst bei einer praktischen Überprüfung hängengeblieben bin. Doch dazu später mehr.

Zu diesen mathematisch interessanten Eigenschaften des MD-Portfolios: PDF, 2014: "A Critical Review of Correlation-based Measures of Portfolio Diversification": https://www.northinfo.com/documents/616.pdf


<Sigma = Vola = Standardabweichung = Quadratwurzel(Varianz)>


=> definieren die Portfolio-Gewichte ein MD-Portfolio, dann sollte also das maximale Diversification Ratio genau dem Kehrwert der MD-Portfolio-Volatilität entsprechen (0)

Das wollte ich dann doch mal überprüfen: Vola MD-Portfolio so wie bislang berechnet: 0.02202246

Das ist eine Standardabweichung auf der Basis von Tagesrenditen über 5 Jahre hinweg. Also muss man diesen Tageswert auf diese 5 Jahre hochskalieren (da sich das Diversification Ratio auch auf diesen Zeitraum bezieht, siehe oben bei "mein Computer-Code"). Das ist eine der wichtigsten Formeln mMn in der Finanz-Mathematik überhaupt:

Wurzel-T-Regel: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel-T-Regel

=> bei 1258 Tagesrenditen von 2019 bis 2023 (also 251.6 Tagesrenditen pro Jahr) ergibt sich also: Gesamt-Vola des MD-Portfolios = 0.02202246 * Quadratwurzel(1258 Tage / 1 Tag) = 0.781099 (a)

Aus oben (0) wissen wir, daß sich diese Vola auch aus dem Diversification Ratio errechnen lassen sollte: Gesamt-Vola des MD-Portfolios = 1 / DRmax = 1 / 1.278748 (c) = 0.7820152 (b)
(siehe (c) aus oben im DR-Diagramm bei Beitrag Nr. 54)

=> das ist aber nicht so ganz derselbe Wert wie (a)

Solche Abweichungen, obwohl klein erscheinend, können verunsichern, zumal ich sowas in diesem Miniprojekt Magnificent 7, 2019 - 2023, bislang nicht hatte. Es hat dann zugegebenermaßen ein bischen gedauert, bis ich auf die mögliche Fehlerquelle gestoßen bin:

=> es können logischerweise nur die Gewichte des MD-Portfolios sein, die ich mir mit dem FRAPO-Paket habe ausrechnen lassen:



Nachdem ich dazu keine weiteren Parameter zum Tunen gefunden habe, habe ich mich nach einer (etablierten) Alternative umgesehen, um damit "bessere" Gewichte für das eindeutige MD-Portfolio ausrechnen zu lassen. Im RiskPortfolios-Paket bin ich fündig geworden (https://www.rdocumentation.org/packages/RiskPortfolios/versi…). Damit ergeben sich diese MD-Portfolio-Gewichte im Vergleich:



=> man sieht, diese Optimierung erbrachte leicht andere Gewichts-Werte

Aber der Witz an Sache ist nun, zumindest auf 5 Dezimalstellen gerundet, daß sich aus diesen Werten derselbe DRmax-Wert von 1.278748 ergibt, wie zuvor bei (c) ausgerechnet:

=> die Diversification Ratio-Metrik ist also innerhalb von bestimmten Grenzen für die Ausgangsdaten eines Solvers robust

Daraufhin habe ich mal die reziproken DR-Werte der bisherigen Portfolio-Typen den jeweilen Portfolio-Vola's gegenübergestellt:



=> es ist also schon so, daß nur beim MD-Portfolio der Kehrwert des Portfolio-DR's einigermaßen zur Portfolio-Vola passt (die mit einem ganz anderen Paket, PerformanceAnalytics, errechnet wurde; siehe Beitrag Nr. 31)

[faultcode]

Antwort auf Beitrag Nr.: 75.124.866 von faultcode am 18.01.24 14:39:34

Mythos gleichgewichtetes Portfolio (EW) (1) -- How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?

ich habe mal kurz versucht, dem Mythos gleichgewichtetes Portfolio (EW) auf die Spur zu kommen.

In 2009, also gleich nach der globalen Finanzkrise, ist ein wohl recht einflussreiches Papier der London Business School (Victor DeMiguel et al) herausgekommen:

Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?
https://academic.oup.com/rfs/article-abstract/22/5/1915/1592…
http://faculty.london.edu/avmiguel/DeMiguel-Garlappi-Uppal-R…

Der dritte Autor, Raman Uppal, EDHEC Business School, kann bis heute quasi als "Equal weight-Guru" gelten. ich werde auf diesen vielleicht noch zurückkommen: https://www.ramanuppal.com/

Es heißt im Abstract:


...

Liest am allerdings weiter, stellt man fest, daß es hier zwar nur um Aktien geht, aber nicht um einzelne Aktien als Portfolio-Komponenten. Ich konnte nicht feststellen, wie viele verschiedene Aktien überhaupt indirekt untersucht wurden, es müssen aber Tausende gewesen sein:

A second reason why the 1/N rule performs well in the datasets we consider is that we are using it to allocate wealth across portfolios of stocks rather than individual stocks.

Hier ist also eine Portfolio-Komponente wiederum ein ganzes Aktien-Portfolio, bis hin zum MSCI World Index (XC0009692739, https://www.msci.com/documents/10199/178e6643-6ae6-47b9-82be…), in dem sich aktuell 1480 verschiedene Aktien befinden:





U.a. heißt es dann:

We wish to emphasize, however, that the purpose of this study is not to advocate the use of the 1/N heuristic as an asset-allocation strategy, but merely to use it as a benchmark to assess the performance of various portfolio rules proposed in the literature.


Und warum in solchen Szenarien ein gleichgewichtetes Aktien-Portfolio, welches sich z.B. aus bis 50 verschiedenen Aktien-Sub-Portfolios zusammensetzt, so gut schlägt, wenn nicht sogar besser als optimierte Mean-variance-Portfolios, steht u.a. hier:

Because diversified portfolios have lower idiosyncratic volatility than individual assets, the loss from naive as opposed to optimal diversification is much smaller when allocating wealth across portfolios. Our simulations show that optimal diversification policies will dominate the 1/N rule only for very high levels of idiosyncratic volatility.

idiosyncratic volatility = unsystematisches Risiko:


https://blog.foerde-sparkasse.de/wertpapiere/anlagestrategie…



Tag: EW of individual stocks

[faultcode]

Antwort auf Beitrag Nr.: 75.133.899 von faultcode am 19.01.24 18:39:48

Magnificent 7, 2019 - 2023: Most Diversified-Portfolio (3) -- Echtfall mit Beispiel-Fonds

Das klang so gut, daß einer der Erfinder, Yves Choueifaty, damals noch Head of Quantitative Asset Management bei Lehman Brothers in Paris später seine eigene "Quant-Boutique" (nicht von mir) namens TOBAM in 2009 gründete, die heute noch besteht und v.a. Vermögen von U.S. Instis verwaltet (aber nicht nur):

<
vielleicht ein bischen vorsichtig mit Kopieren sein, denn hier sind überall Markenrechte angegeben, dabei geht es im Kern nur um das hier:

m_cov <- as.matrix(stats::cov(as.matrix(m_input_returns)))

sigma_assets <- as.vector(apply(m_input_returns, 2, stats::sd))

sigma_portfolio <- sqrt((t(v_input_weights) %*% m_cov %*% v_input_weights))

DR <- as.vector((t(v_input_weights) %*% (sigma_assets)) / sigma_portfolio )

mein Computer-Code
>


Hier also mal ein Anschauungs-Objekt dazu:

TOBAM Anti-Benchmark Global Equity Fund, a compartment of Most Diversified Portfolio SICAV, Class: A, (Accumulation)
ISIN LU1067855038:

https://www.tobam.fr/equity/anti-benchmark/
Anti-Benchmark® strategies are constructed using the patented Maximum Diversification® approach, which has one objective: maximizing the Diversification Ratio® (DR) of a portfolio, TOBAM’s proprietary measure of diversification.
The Anti-Benchmark® strategy is designed to create portfolios aiming to lie closer to the ex-post efficient frontier than the market cap portfolio over a market cycle.

Anti-Benchmark® portfolios access the available risk premium in a risk efficient manner and intend to typically enhance performance over a market cycle vs. the benchmark via greater diversification for equity portfolios, while also reducing volatility.


Funktionierte dieser MD-Fonds in der Praxis in den letzten Jahren für den Anleger?

=>


https://www.tobam.fr/equity/ --> Länderauswahl oben checken


Hier noch die Performance aus einer älteren Key investor information:


<der Vorläufer-Fonds existierte wohl schon seit geraumer Zeit, aber der jetzige erst seit 2014; der Benchmark änderte sich auch ab 2023>

TOBAM hat viele verschiedene Funds. Ich habe daher mal einen zweiten, aber ähnlichen kurz angeguckt: TOBAM Anti-Benchmark World Equity Fund,
a compartment of Most Diversified Portfolio SICAV, Class A, (Accumulation, LU1067857240): ein ähnliches Perfomance-Bild mMn


Nebenbei: ich habe nicht direkt herausgefunden nach welcher Methode hier ein Rebalancing stattfindet. Nachdem man sich an Bloomberg-Indizes orientiert, kann man vielleicht annehmen, daß man dem dortigen Rebalancing folgt: der Bloomberg Global Equity Indices Methodology von 2021 entnehme ich, daß bei Bloomberg das wesentliche Rebalancing zweimal im Jahr stattfindet (März + September, "Reconstitution") mit Anpassungen im Quartal zwischendurch (Juni + Dezember, "Index Share update").


Trotz aller mathematischer Schönheit hier habe ich aber mittlerweile den Verdacht, daß das Most Diversified-Portfolio in einem breiten Anlage-Universum über Jahre hinweg auch unter Performance-Schwierigkeiten leidet, so wie ein entsprechendes, gleichgewichtetes Portfolio im selben Anlage-Universum, obwohl letzteres sich null Gedanken um Dinge wie vergangene oder zukünftige Varianzen und Korrelationen machen muss.

Ich spreche hier von "echter" Diversifikation, z.B.:

• Kupfer
• Gold
• Oldtimer Sportwagen
• Hermès-Handtaschen
• Wald in Österreich
• Rinder in Australien
• Rechte an koreanischen Pop-Songs
• Patent-Portfolio
• U.S. Large Cap Growth
• Berkshire Hathaway-Aktien
• Anteile an einem Hedge Fund in Rio de Janeiro
• European Small Caps
• Immobilien in Hongkong
• Schiffe
• Distressed debt and private credit
• Managed Accounts
• Infrastruktur Private Equity
• Ur-Opa's Briefmarken
• Bitcoins
• ...