Die logarithmierte Rendite - Wo sie zum Tragen kommt und wie sie sich errechnet

Die Rendite auf Grundlage des natürlichen Logarithmus, auch stetige Rendite genannt, ist eine Größe aus der Finanzmathematik, die insbesondere beim Risikomanagement genutzt wird. Mit ihr erstellt der Investment Manager die Volatilitäten eines Wertpapiers oder Investmentfonds zur Einschätzung des jeweiligen Risikos. Die stetige Rendite wird genutzt, da sich so die Entwicklung durch die Normalverteilung approximieren lässt. Bei der Berechnung der normalen Rendite sind die Ergebnisse nur auf alle positiven Zahlen begrenzt. Dies ist aber im Zusammenhang mit der Normalverteilung eher nachteilig. Durch die Anwendung einer logarithmischen Formel können auch negative Zahlenwerte, also Werte der gesamten reellen Zahlen, ermittelt werden. Somit kann ein realer Risikowert für eine Geldanlageform mit einer höheren Aussagekraft errechnet werden.

Die eigentliche Formel scheint auf dem ersten Blick etwas kompliziert. Sie lautet: r(t_i, T) = ln[S(t_i+T)] - ln[S(t_i)]. T ist hierbei die Zeit, über die die Rendite berechnet werden soll und S(t_i) ist der zeitabhängige Preis. Mit anderen Worten wird der natürliche Logarithmus des Preises vom letzten Tag vom Logarithmus des Preises vom ersten Tag abgezogen. Die Differenz ist die Rendite, die von der Zeit und der Zeitperiode t_i abhängig ist. Auf diese Weise lassen sich aufeinanderfolgende Renditewerte ermitteln, die durch Addition kumulieren (häufen). Aus der Rendite lässt sich nun der erwartete Kapitalwert während einer Anlageperiode prognostizieren. Die Formel hierzu lautet: K(t_i+T) = K(t_i) * e^{r(t_i, T)}, wobei K das Kapital ist und K(t_i) das anfängliche Kapital darstellt.

Die Formel soll anhand eines Beispiels erklärt werden. Nimmt man eine Zeit von 10 Jahren und einen Preis von S(t_1) = 36,80 Euro sowie einen Endpreis von S(t_1+3650) = 47,60 Euro an, dann erhält man eine historische Rendite von r(t_1,3650) = 0,257, daraus berechnet sich bei einem Anfangskapital von 20.000 Euro ein prognostiziertes Kapital von K(t_1+3650) = 25.869,57 Euro. Bei der letzten Formel wird die Exponentialfunktion benutzt, da es sich beim Vermögensaufbau nicht um ein lineares, sondern um ein exponentielles Wachstum handelt. Dies hängt mit dem Zinseszins zusammen.