Der Autokorrelationskoeffizient der Indizes NASDAQ und NYSE.

Kapitalmarktzeitreihen zeigen ein ähnliches Schwankungsverhalten auf verschiedenen Zeitskalen, dass heißt aufgrund von fraktalen Marktstrukturen innerhalb verschiedener Maßstäbe sind bei den Indizes selbstähnliche Bewegungsmuster zu erkennen.

Deren Deskription ist dadurch möglich, dass die Messung der Korrelation zwischen den Werten der Zeitreihen, die Messung der Autokorrelation, durchgeführt wird.

Die Autokorrelationen von Zeitreihen besitzten eine große Bedeutung im Zusammenhang der Konzeption moderner Zeitreihenmethodik.

Das geeignete Instrument zur Beurteilung dieser Eigenschaft von Zeitreihen y1..yn sind die empirischen Autokovarianzen bzw. Autokorrelationen. Darunter versteht man Maße für den Zusammenhang zwischen Beobachtungsdaten, die einen bestimmten zeitlichen Abstand zueinander haben. So ist die empirische Kovarianz bzw. Autokorrelation zum sogenannten lag (Zeitverschiebung) 1 ein Maß für den Zusammenhang von yt und yt+1 für t=1..n-1, die um lag 2 ein Maß für den Zusammenhang zwischen y und yt+2 für t=1..n-2 usw.

Die Zusammenhangsmessung zwischen den Werten der Zeitreihen erfolgt analog zur Konstruktion der Kovarianz bzw. des Autokorrelationskoeffizienten im Mehrvariablenfall:

Aus den n Werten der Zeitreihen lassen sich n-1 Paare von unmittelbar aufeinanderfolgenden Werten bilden (x1, x2)(x2, x3)..(xn-1, xa). Deren Autokovarianz hat den Betrag ©

x¯(1) das arithmetische Mittel aus den Werten x1 bis xn-1 dargestellt und x¯(2) das aus den Werten x2 bis xn.

Das bedeutet also, dass die Autokovarianz den Zusammenhang für n-1 Werte zweier Zeitreihen misst, die deckungsgleich und auf der Zeitachse um eine Zeiteinheit gegeneinander verschoben sind.

Bei nicht zu kurzen Reihen und insbesondere stationären Reihen unterscheiden sich x(1) und x(2) nicht wesentlich, d.h. dass in diesem Fall das arithmetische Mittel der ganzen Reihe verwendet werden kann. Das gleiche gilt dann auch für die entsprechende Varianzen, so dass die Autokorrelation unmittelbar aufeinanderfolgender Werte in diesem Fall den Betrag ©

Entsprechend können die Autokovarianz und die Autokorrelation für weiter auseinanderliegende Werte (also für um mehr als eine Zeiteinheit gegeneinander verschobene Reihen) bestimmt werden. Der Zeitabstand [tau] der betrachtete Werte wird als lag bezeichnet. Daraus folgt, dass die Autokovarianz eine vom Lagparameter [tau] abhängige Funktion darstellt
© Für [tau]=0 gilt, dass cov(0)= var(x) ©

Die empirische Autokorrelation ist somit © für [tau]=0 gilt, dass r(0)=1, besitzt also die Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten von Bravais/Pearson, auch das Verfahren ist analog. Die einzelnen Werte für r([tau]) werden auch als Autokorrelation [tau]-ter Ordnung bezeichnet.

Da bei relativ großem [tau] die Zahl der in die Berechnung eingehenden Wertepaare relativ klein ist und deshalb zu Werten von r([tau]) führen kann, die von einzelnen Wertepaaren stark geprägt sind, sollte [tau] nicht größer als ein Viertel der Anzahl der Zahlenwerte sein.
©

Die Autokorrelation ersten Ordnung berechnet sich nach folgender Formel:
©

Relativ große Werte des Autokorrelationskoeffizienten (-1<=[tau]<=1) weisen auf einen relativ engen Zusammenhang bei der entsprechenden zeitlichen Verschiebung hin - je näher sich der Wert der Null nähert, desto geringer ist der jeweilige zeitliche Zusammenhang.

Der Autokorrelationskoeffizient definiert, ob eine Zeitreihe noch einer regulären Komponente unterliegt oder nicht.

Ist eine reguläre Komponente vorhanden, so sind die Werte von r([tau]) relativ hoch. Es gilt: Wenn die Periodizität genau getroffen wird, ist der Wert nahe 1 und bei der halben Periodizität nahe -1.

Ist der Wert des Autokorrelationskoeffizienten nahe null oder sogar gleich null, kann man die weitere Suche nach regulären Komponenten beenden, da hier bewiesen ist, dass die Werte rein zufällig sind.

Zum Autokorrelationskoeffizienten wird abschließend folgende Bemerkung gemacht:

Der Autokorrelationskoeffizient macht nur bei relativ langen Zeitreihen Sinn, da der maximale lag mit einem Drittel bis zur Hälfte der Zeitreihe angegeben wird.

Die Werte von Zeitreihen sind in der Regel inhaltlich immer eng verbunden. Der Graph von r([tau]) wird als (Auto-) Korrelogramm bezeichnet. Auf der Abszisse werden die lags abgetragen und auf der Ordinate die Werte der Autokorrelationskoeffizienten.



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Michael Hummel, Autor
Zeitreihenprognose