Portfolio Opimierungs Modelle - Statistik - 500 Beiträge pro Seite

[hungrigerHugo]

Hy @ all.

Folgendes geht an alle Statistiker und Modellfreaks auf wo


Ich bin gerade dabei eine Arbeit über Portfoliooptimierung bei nicht normalverteilten Renditen zu schreiben (dafür verwende ich Kursreihen auf Wochenbasis von Emerging Markets und Mid- sowie SmallCap Indizes).
In Fall einer nicht normalen Renditeverteilung kann man den herkömmlichen Ansatz von Markowitz bzw capm ja nicht mehr verwenden, zumindest muss er etwas erweitert bzw. modifiziert werden.

So hat man dann die Möglichkeit entweder eine Form des Downside Risks anstatt der vollständigen Varianz heranzuziehen (=Optimierung mit Lower Partial Moments), oder man bezieht die höheren Momente einer Verteilung, Schiefe und Wölbung (=Optimierung mit Higher Moments) mit ein, um die nicht normale Verteilung beschreiben zu können (dies führt jedoch zu einer Optimierung von nicht mehr nur einem Ziel, nämlich Mean, sondern zu einer Optimierungsfunktion mit 3 konkurrierenden Zielen, Mean, Skewness und Kurtosis).


Meine Frage an euch ist nun, ob schon wer von euch Erfahrung irgendeiner Art mit diesen Ansätzen hat, die er mir weitergeben könnte.


Danke Euch.

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mfgHungrigerHugo
http://www.finasearch.at

[conquer]

Und - was hat sich ergeben? Mein erster Gedanke war, dass die Gültigkeit des CAPM ja grundsätzlich auch bei quadratischer Nutzenfunktion und nicht normalverteilten Renditen besteht...

Würde gern mal das Ergebnis sehen

Grüßle,
conquer

[hungrigerHugo]

hy conquer.

Tut sorry, aber hab das ding mal auf eis legen müssen, weil ich zur zeit einfach zuviel stress hab um die zeit zu finden so ein komplexes thema zu bearbeiten. Hoffe ich komm im sommer wieder dazu weiter daran zu arbeiten.


kurz zu deinen gedanken:

- quadratische Nutzenfunktion:
Da hasst du recht mit. Auswertungen nach dem mü-sigma prinzip, und somit auch das capm (welches sich ja nur aus dem mü und sigma verhältnis ableitet), verlangen sogar nach nutzenfunktionen 2ten grades als anwendbarkeitsbedingung.

- Normalverteilungsbedingung:
Das schöne am capm is, das für die berechnung nur 2 einfache parameter der rendite-wahrscheinlichkeitsverteilung nötig sind, nämlich mü und sigma. Man kann daher die komplette verteilungskurve vergessen und kann mit 2 einfachen zahlen weiterrechnen.
Das geht aber nur mit normalverteilten renditen, da nur normalverteilungen voll und ganz durch die 2 parameter mü und sigma beschrieben werden können (sobald die wölbung nicht stimmt oder die verteilung in eine richtung überhängt,... geht das schon nicht mehr so einfach)
Daher kann das capm nicht mit nicht-normalverteilten renditen funktionieren (man müsste also richtigerweise eigentlich bevor man es anwendet sogar eine normalverteilungsprüfung (f-test) der zugrundeliegenden werte durchführen)


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mfgHungrigerHugo
http://www.finasearch.at

[conquer]

also soweit ich weiß, ist für die gültigkeit des CAPM lediglich nötig, dass sich investoren nur an mü und sigma orientieren, was aber nicht heißt, dass die zugrundeliegende verteilung normalverteilt sein muss. die höheren momente zählen einfach nur nicht in der nutzenmaximierung des investors, wenn folgendes gilt:

E(U) = I (a*W-b*W^2) f(W) dW

wobei "I" für Integral von minus bis plus unendlich steht und "W" für wealth (ohne normalverteilung!) ist. E(U) = erwarteter Nutzen

die gleichung lässt sich zu E(U) = a*E(W)-b*[Var(W)+E(W)^2] umformen, q.e.d.

das ganze ist natürlich etwas unschön, da eine qudratische nutzenfunktion zwar konkav ist, aber die risikoaversion unrealistisch modelliert ist (arrow risikomaße unplausibel).

...

[hungrigerHugo]

ja, für die nutzenfunktion is die verteilung der renditen ohne bedeutung (da sich der investor für ein verhältnis von rendite und risk entscheiden kann, und zwar völlig frei von irgendwelchen verteilungen).

Damit ist mal die nutzenfunktion erstellt. Die wird jetzt in das mü-sigma diagramm der capm efficient frontier gelegt.

Ich hab da zur verdeutlichung mal ein bild reingestellt:



das optimale portfolio bildet sich nun an der stelle an dem eine der indifferenten nutzzenfunktionen die efficient frontier schneidet.

Das problem ist hier jedoch bei der konstruktion dieser efficient frontier zu suchen. Diese leitet sich nämlich direkt aus der renditeverteilung der unterliegenden werte ab. Ich kann zwar auch bei nicht-normalverteilten renditen eine optimierung (nach min! var bei je gegebenem mü) durchführen, jedoch stellt sich die frage wie aussagekräftig die varianz dann noch ist (was ist bei einer schiefen verteilung: da ist zB die varianz nach rechts doppelt so hoch wie die nach links,... die verteilung ist hier nicht mehr symetrisch und deshalb kann ich nicht mehr einfach nur nach sigma optimieren, weil mir sigma (natürlich gemeinsam mit mü) nicht mehr die komplette renditeverteilung beschreiben kann.
[hier sagen viele, das man sowieso nur am abwärtsrisiko interessiert ist, also das linke sigma, und sie bilden die downside-deviation (abwärtsrisiko) und fahren dann die optimierung mit der downside deviation (die nun wieder eindeutig ist; das ist zB eine der kleinen alterierungen am capm damit man es bei nicht-normalverteilten renditen noch immer verwenden kann]

dadurch (also wenn ich nur mehr das herkömmliche sigma nehme, das hier nun keine klare aussage mehr treffen kann) wird die optimierung verfälscht und dadurch auch die efficient frontier falsch gelegt.
Das führt dazu das die nutzenfunktion die effienzenzgrenze an einer völlig anderen stelle tangiert und somit ein nurmehr vermeindlich optimales portfolio geschaffen wird.
Deshalb funktioniert das capm bei nicht normalverteilten renditen nicht.


mfgHungrigerHugo

[conquer]

ja der effiziente rand kann grundsätzlich auch dann mit "Min=var" bei gegebener Rendite berechnet werden.

der springende punkt ist die aussagekraft dieses randes. wie oben angemerkt, man könnte sich einfach damit begnügen eine quadratische nutzenfunktion zu unterstellen, dann ist der rand aussagekräftig!

http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Sloan-School-of-Management/1…

"Assumptions" p.4

Identical Investors
• Myopic1
• Same holding period
• Normality or Mean-Variance Utility
• Homogeneous expectations

wie dem auch sei, es wäre für dich bestimmt mehr oder weniger eine notlösung, sich das ganze über eine annahme "hinzubiegen"!? der nachteil ist, das diese annahme recht realitätsfern ist.

[hungrigerHugo]

Danke für deinen link

Hab anscheinend wieder ein wenig nachhilfe benötigt.

Du hast natürlich vollkommen recht wenn du sagst entweder normalverteilung oder quadratische mean-variance utility function.

Da du an dem thema anscheinend sehr interessiert bist, hab ich mir gedacht ich such dir mal ein paar gute papers zum thema portfoliooptimierung aus meiner sammlung raus.
Behandeln die Themen Portfoliooptimierung nach CAPM und APT, sowie eine Portfoliooptimierung unter berücksichtigung der höheren verteilungsmomente (die sind die wirklich interessanten)

Hier der Link zum folder in den ich sie upgeloaded hab:
http://www.finasearch.at/Portfolioanalyse/


Hoffe es is was dabei das für dich von interesse is.


mfgHugrigerHugo