Das Ziegenproblem - 500 Beiträge pro Seite

[echtzeit]

Der Moderator einer Spielshow zeigt dem Kandidaten 3 Türen.
Der Moderator weiss wo das Auto ist.

"Hinter einer der 3 Türen steht der Hauptgewinn, ein Auto. Hinter den beiden anderen Türen sind Ziegen.
Welche Tür wählen Sie ?"

Nachdem sich der Kandidat entschieden hat, öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen mit einer Ziege.

"Bleiben Sie nun bei Ihrer Wahl oder möchten Sie umwählen ?"


Was sollte der Kandidat tun ? oder ist es egal ?

[Liebesritter]

Er sollte eine neue Tür wählen, da sich jetzt die Chance 50:50 steht. Bei der alten Wahl war es nur 1:3. Ganz klar: neu entscheiden und die andere Tür nehmen!

[echtzeit]

wenn die Chance 50:50 steht, kann er ja auch bei der alten bleiben

[TheBornLooser]

Das ist eine klassische Frage, die vor vielen Jahren zu heftigen Diskussionen in USA führte.

Hinweis: Der Moderator öffnet immer eine Tür, hinter welcher nicht der Hauptpreis liegt. Das hat Auswirkungen auf den Entscheidungsraum.

Und hat das weitergeholfen?

[Liebesritter]

Da der Moderator wußte, wo das Auto steht, war klar dass er eine Tür öffnet, hinter der eine Ziege steht. Somit ist meine Chance aus der alten Wahl bei 1:3 unverändert geblieben. Der Moderator kann (und wird) immer eine Tür öffnen, hinter der eine Ziege steht. Wenn ich mich aber danach umentscheide habe ich die 50:50 Chance.

[luschimoch]

is mir zu schwer.

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Das Ziegenproblem
Die richtige Lösung:

Der Kandidat sollte umwaehlen, da seine Chance sich von 1/3 auf 2/3 VERDOPPELT !



Meine Erklärung:

Bei der ersten Wahl des Kandidaten betraegt die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass das Auto hinter der gewaehlten Tuer ist (z.B. Nr.1).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto NICHT hinter Tuer 1 ist (also hinter Tuer 2 oder Tuer 3), betraegt dann 2/3 (da die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer gleich 1 ist).

Der Quizmaster weiss natuerlich, wo sich das Auto befindet ! Er oeffnet also stets eine Tuer, hinter der KEIN Auto sondern eine Ziege ist, also eine Tuer mit der Wahrscheinlichkeit null (anderenfalls waere das Spiel sinnlos).

Oeffnet also der Quizmaster z.B. Tür 2 (Ziege !), wird die Wahrscheinlichkeit fuer die dritte Tür 2/3 (denn 1/3 + 0 + 2/3 = 1).

Also sollte der Kandidat umwaehlen, da seine Chance sich auf 2/3 VERDOPPELT !

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aber in die richtung hatte ich auch gedacht.

[Liebesritter]

Im Prinziep kann er auch bei der alten Tür bleiben. Diese Entscheidung muß aber das Ergebnis einer zufälligen Wahl sein. Wenn er eine Münze wirft und sich bei Kopf oder Zahl für die alte oder die andere Tür entscheidet ist die Chance bei beiden Türen 50:50.

Trifft er aber keine neue Entscheidung, sondern bleibt bei der alten, weil er sich nicht von dem Moderator ablenken lassen will, dann bleibt auch seine Chance bei 1:3.

[Liebesritter]

#6
Die wahrscheinlickeit der Tür, die geöffnet wird sinkt auf Null. Das ist richtig. Aber die 1/3 Chance dieser Tür verteilt sich dann auf die anderen beiden Türen und nicht nur auf eine. So sehe ich das. Voraussetzung: Der Kanditat trifft eine neue Entscheidung!

[tompilz]

Liebesritter,

nein, indem der Moderator die eine Ziegentür öffnet sind die Wahrscheinlichkeiten der beiden anderen Türen nicht mehr 50:50, egal, ob mit Münze oder nicht. Siehe #6

[Liebesritter]

Kann ich nicht akzeptieren. Wenn du 1000mal diese Situation durchspielst, jedesmal eine Münze wirfst, welche der beiden übrigen Türen du nimmst, dann wirst du mit dieser Regel ca. zu 50% die richtige Tür gewählt haben und zu 50% die falsche Tür. Wenn du allerdings keine neue Entscheisung triffst, dann wirst du zu 1/3 die richtige Wahl mit deiner alten Entscheidung getroffen haben. Insofern gebe ich dir recht, dass du mit der Wahl für die andere Tür zu 2/3 richtig liegst. Insofern gibt es mehrere Lösungen abhängig davon, ob eine echte neue Zufalls-Entscheidung getroffen wurde. Die höchste Chance bietet aber die Alternative, sich bewußt für die andere Tür zu entscheiden.

[heiopei11]

#6

Du schriebst:

Oeffnet also der Quizmaster z.B. Tür 2 (Ziege !), wird die Wahrscheinlichkeit fuer die dritte Tür 2/3 (denn 1/3 + 0 + 2/3 = 1).

OK

aber die beiden übrig gebliebenen Türen müssen gleich behandelt werden sprich:

(1,5)/3 + 0 + (1,5)/3 = 1

also 50:50

Ist doch was schönen für einen verregneten Feiertag

Gruss an alle

[heiopei11]

Hoffe ich liege nict falsch ??

[echtzeit]

Die Lösung: Der Kandidat muss wechseln, um seine Chance von 1/3 auf 2/3 erhöhen.
Im ersten Moment nicht erklärlich aber wahr !!!



Der Kandidat hat 3 Möglichkeiten:
2 * Niete = Tor 1,2
1 * Gewinn = Tor 2

Der Moderator zeigt immer die Ziege !

Wählt Kandidat Tor 1: würde der Moderator Tor 3 zeigen !   Wechsel = Sieg
Wählt Kandidat Tor 3: würde der Moderator Tor 1 zeigen !   Wechsel = Sieg
Wählt Kandidat Tor 2: würde der Moderator Tor 1 oder Tor 3 zeigen !   Wechsel = Niete

also falls ihr mal in so ner show seid ...

Also Wechsel = immer zu !!!

[Topfenpalatschinke]

In 2 von 3 Fällen setzt der Kandidat auf eine Ziege. Wenn nun der Showmaster eine Ziegentür öffnet, ist es für den Kandidaten daher in 2 von 3 Fällen vorteilhaft zu wechseln. (Nur in 1/3 aller Fälle hat der Kandidat bereits auf Anhieb das Auto gewählt.)

[tompilz]

Liebesritter,

aber die Wahrscheinlichkeiten der beiden Türen sind doch gar nicht mehr gleich. Nehmen wir an, unter Tür A und B sind Ziegen, unter Tür C das Auto.

Wenn wir jetzt A wählen, dann muss der Moderator Tür B öffnen. Wechsel. Wählen wir B, dann muss er A öffnen.

Nur wenn wir Tür C wählen, dann hat der Moderator freie Wahl.

Also nur dann, wenn wir zuerst das Auto wählen, ist die nicht vom Moderator geöffnete Tür eine Ziege. Und dieser Fall tritt ja nur zu 33% ein, an allen anderen Fällen (66%) ist die nicht gewählte und nicht geöffnete Tür das Auto.

Du siehst, die Wahrscheinlichkeiten zwischen beiden Türen sind dann nicht mehr gleich.

[BonMala]

Der Kandidat muss nur wechseln, wenn er vorher die Tür gewählt hatte,
hinter der die Ziege war.

[echtzeit]

#16

[echtzeit]

 

 
Hier könnt ihr das Ziegenproblem live testen

http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/z…
 

[Liebesritter]

#15
tompilz, du hast recht und ich unrecht. du hast mich überzeugt!

[luschimoch]

#11
ich bin nicht der geistige vater der antwort. ich habe mir die lösung aus dem web gesucht und den originaltext reinkopiert.

für mich wäre das ziegenproblem nicht lösbar.
viel zu viele annahmen. ich meine wie hoch ist die chance des kandidaten, dass auto zu finden? genau. 1/3. wie hoch ist die wahrscheinlichkeit, dann noch `ne ziege mit nach hause zu nehmen? genau. 1.

also ich würde den moderator verkloppen.

[Dalle]

wieso soll er wechseln

die dritte, nicht gewählte Tür wurde doch geöffnet

Also, eh fifty-fifty-Chance, dann bleib ich bei meiner Wahl, feddisch

[Kaptah]

Das Problem läßt sich mit einer ganz einfachen Überlegung
lösen. Nehmen wir an, es gibt nicht nur 3 Türen,sondern 100.
99 mit einer Ziege dahinter und eine mit einem Auto.
Ich wähle eine Tür und der Moderator öffnet eine andere mit
einer Ziege dahinter. Jetzt gibt er mir die Möglichkeit,
meine Wahl zu ändern, aber ich bleibe bei meiner Tür.
Daraufhin gibt er mir noch eine Chance und öffnet eine
weitere Tür mit einer Ziege. Wieder darf ich wechseln.
Das will ich aber nicht, ich bleibe bei meiner Tür. Und so
geht es weiter, er öffnet eine Tür nach der anderen, bis
nur noch zwei geschlossen sind, meine zuerst gewählte und
eine andere.
Kein Mensch wird behaupten, dass jetzt bei beiden Türen die
Chance auf den Hauptgewinn gleich groß ist. Jetzt sollte man
auf jeden Fall die andere Tür wählen!
Bei nur 3 Türen ist die Lösung nicht so offensichtlich wie
bei 100, aber das Prinzip ist das Gleiche.

[WilmaFeuerstein]

noch viel einfacher: Der Kandidat bricht in lautes Gemecker aus, die noch versteckte Ziege antwortet, und er nimmt die andere Tür ...

[EasyCome]

Leute, hier geht es offensichtlich darum, daß das Vorwissen
zu einer Entscheidung ebenfalls bewertet sein muß.

Bei 3 Toren ist es schwer nachvollziehbar.
Jetzt nehmt mal an, ihr hättet nicht 3 Tore sondern
1.000.000 Tore, sucht eins aus und der Moderator macht alle
Türen auf bis auf eine und eure.
Würdet ihr dann immer noch bei eurer Tür bleiben?

Also, ich net!

Wenn nun aber einer reinkommt und wusste nix von 1.000.000
Türen und sieht nur die 2 verschlossenen, dann ist für ihn
die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 50%.

Für euch ist die Wahrscheinlichkeit eurer Wahl jedoch 1:1.000.000.
Also ist es FÜR EUCH sinnvoller zu wechseln.

Noch Fragen? Dann fragen ...


Alles voll Easy.



Logo?
Logo!

[EasyCome]

Leute, hier geht es offensichtlich darum, daß das Vorwissen
zu einer Entscheidung ebenfalls bewertet sein muß.

Bei 3 Toren ist es schwer nachvollziehbar.
Jetzt nehmt mal an, ihr hättet nicht 3 Tore sondern
1.000.000 Tore, sucht eins aus und der Moderator macht alle
Türen auf bis auf eine und eure.
Würdet ihr dann immer noch bei eurer Tür bleiben?

Also, ich net!

Wenn nun aber einer reinkommt und wusste nix von 1.000.000
Türen und sieht nur die 2 verschlossenen, dann ist für ihn
die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 50%.

Für euch ist die Wahrscheinlichkeit eurer Wahl jedoch 1:1.000.000.
Also ist es FÜR EUCH sinnvoller zu wechseln.

Noch Fragen? Dann fragen ...


Alles voll Easy.



Logo?
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[EasyCome]

Leute, hier geht es offensichtlich darum, daß das Vorwissen
zu einer Entscheidung ebenfalls bewertet sein muß.

Bei 3 Toren ist es schwer nachvollziehbar.
Jetzt nehmt mal an, ihr hättet nicht 3 Tore sondern
1.000.000 Tore, sucht eins aus und der Moderator macht alle
Türen auf bis auf eine und eure.
Würdet ihr dann immer noch bei eurer Tür bleiben?

Also, ich net!

Wenn nun aber einer reinkommt und wusste nix von 1.000.000
Türen und sieht nur die 2 verschlossenen, dann ist für ihn
die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 50%.

Für euch ist die Wahrscheinlichkeit eurer Wahl jedoch 1:1.000.000.
Also ist es FÜR EUCH sinnvoller zu wechseln.

Noch Fragen? Dann fragen ...


Alles voll Easy.



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[DAS_OMEN]

Wechseln !

[echtzeit]

[xylophon]

tompilz: gute Erklärung...ich hab es jetzt auch kapiert.

Für Doofe:

Am Anfang denkt man - ich auch - ist doch egal, die falsche Tür ist doch jetzt raus, damit hat sich die Chance für beide Türen auf 50:50 verändert. Das würde auch stimmen, wenn der Moderator zuerst die Tür aufmachen dürfte, die der Kandidat gewählt hat. Dann hat sich das Risiko verwirklicht, dass er zu 2/3 falsch liegt.

Tatsächlich hat der Moderator aber nicht diese Möglichkeit. Sondern bei Wahl der Ziege hat der Kandidat dem Moderator vorgegeben, welche Tür er zu öffnen hat, nämlich die andere Ziege. Damit wird am Anfang IMMER eine Ziegentüre geöffnet, egal was der Kandidat wählt.

Es ist für ihn also günstiger, wenn er am Anfang falsch liegt, weil dadurch die zweite Ziege rausfliegt und der Moderator keine Wahlmöglichkeit hat.




Anders wäre es nur, wenn der Showmaster nicht wählen dürfe, welche Tür er aufmacht, sondern der Zufall eine Tür auswählt und das auch die vom Kandidaten gewählte Tür sein kann, wenn dort die Ziege hinter steckt.
Dann ist durch die erste Entscheidung die Wahrscheinlichkeit nicht verändert worden....