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Matherätsel zum Feierabend - 500 Beiträge pro Seite



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Also, für alle Hobbyrecher:

An einem Haus steht eine Kiste, 1x1m groß. Angeleht an die
Kiste und das Haus steht eine 3m lange Leiter.
Wie hoch am Haus wird die Leiter angelehnt sein?


Gruß

DieUnke
mit meinen 2,5 lieg ich jedenfalls falsch
ich mach einen rückzieher und tipp auf 2,22
Hallo, ich habe auch eine Rechenaufgabe mit zwei Unbekannten:

Wenn man bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 500 cm² die eine Seite um 2 cm verkürzt und die andere Seite um 2 cm verlängert, so vergrößert sich der Flächeninhalt um 6 cm².
Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?


welche Formel(Gleichung) muss man aufstellen und wie muss man diese anschließend umstellen?


MfG pF
Also noch habe ich keine richtige Lösung gesehen.... also mit
dem Pytagoras geht es nicht...

Gruß

DieUnke
Die Neigung der Leiter spielt ebenfalls eine Rolle, d.h. wo liegt die kürzere Kathete zum Boden oder zur Hauswand hin?
Meiner Meinung nach geht es doch mit dem Pythagoras. Ich komme auf 2.12 m.
Wenn die Kiste hoch genug ist, was aus der Frage nicht hervorgeht, schafft es die Leiter vielleicht gar nicht an die Hauswand.

Gruß Mask :)
Bin echt gespannt, was ich hier morgen an resultaten
lese... ich mache jetzt Feierabend.

Gruß

DieUnke
#12

natuerlich zum Boden.

Die Oberfläche der Kiste steht denke ich 90 Grad zur Hauswand, und das in einem Winkel von 90 Grad.
Daraus ergeben sich 2 Dreiecke. Eins ist 1m hoch und im Winkel von 90 Grad zum Boden.
Du kannst die Leiter in einem gewissen Intervall anlehnen.
Interessiert Dich das gesamte Intervall oder nur der höchste möglich Punkt?
2,225 m
nimm ne leiter,
säg sie auf 3 m,
besorg dir ne kiste und nagle.
oder 1,50m - wenn man sie an die niedrigste stelle legt.

alles nicht gerechnet, sonder aufgemalt :cool:
Was ich nicht verstehe, dass alle annehmen die Kiste sei 1m hoch.
In der Frage steht, die Kiste ist 1m x 1m.
Das kann bedeuten Länge x Breite. Wo ist die Höhe angegeben ?

Gruß Mask :)
Eine Kiste muss eine Höhe besitzen, da hier keine angegeben ist, nehmen wir 1m an.
wieso schieben wir eigentlich nicht die gottverdammte kiste weg. die nervt doch!! :)
@ greatmr

Endlich bestätigt einer meiner doch berechtigte Frage nach der Lage der kürzeren Kathete ;)!
Die Leiter kann auch genau gerade an der Hauswand neben der Kiste angelehnt stehen, dann ist die Höhe 3m.

Gruß Mask :)
Gaaaanz einfach, die Höhe lässt sich nicht festlegen, habs gerade mit einer Zeichnung nachweisen können!;)

Es gibt aber eine Toleranzgrenze, die nach meiner freihändigen;) Zeichnung in Etwa zwischen 1,8 und 2,5 Metern betragen sollte...


Gruß pF
Die ist eine Aufgabe fuer einen Mathe-Wettbewerb fuer die Gym-Oberstufe. Das wird so einfach nur mir Pythagoras nicht gehen.
Dr. Michael J. Winckler
IWR, Raum 502
INF 368
69120 Heidelberg

Fragt den mal, der hat die Aufgabe gestellt ;)
hoeh ?
...kommt drauf an in welchem winkel die leiter an die kiste gelehnt ist ..ich kann die ja auch recht "flach" anlehnen.
kann ich kurz vor feierabend soo nich berechnen
...sons glaub ich auch nich lol
Die Hoehe ist eine Funktion mit dem Anlegewinkel als Variable. Deren Maximum muss man berechnen. Es wird also ne Ableitung einer Funktion gebildet werden muessen. Das passt auch in die Jahrgangsstufe.
Wie geht das rechnerisch?
Bitte um Erläuterung.
Eine maßstäbliche Kartierung zeigt mir 2,49 m!
Ein Intervall sollte es nicht sein in dem man die Leiter anlegen kann sondern genau 2 Punkte. Ich stelle mir eine unendliche Gerade durch die Kistenecke vor die man darum als Drechachse dreht. Die Funktion der Leiterlaenge beim Drehen erreicht dann 2 mal beim Kippen die Laenge 3.
es geht nicht um ein maximum, es gibt 2 möglichkeiten, die leiter wie beschrieben anzulehnen:

Variante 1: Höhe 1,6702117m
Variante 2: Höhe 2,4920660m

es geht wohl um die höhere Möglichkeit.

wie das schön zu lösen ist, weiss ich auch nicht, als bequemer mensch hab ich excel zu hilfe genommen.
Also, ich habe eine unelegante Loesung, mit der
ich immer auf eine Gleichung vierten Grades komme.
Das ist unschoen, aber wenn ich die zeichnerischen
Loesungen von greatmr einsetze, kommt es in etwa
hin. Loesungsweg:

gesuchte Hoehe an der Hauswand sei x
Abstand des Aufstellpunktes von der Wand sei y

Dann gilt mit Pythagoras: x!2 + y!2 = 9
Nennen wir den Winkel zwischen Leiter und Erde alpha,
dann gilt:
tan(alpha) = x/y (grosses Dreieck aus Leiter, Wand
und Abstand Wand - Leiterfusspunkt)
Ebenso ergibt sich aus dem kleinen Dreieck, das mit
dem Leiterfusspunkt beginnt und an der Kiste endet:
tan(alpha) = 1/(1-y) (denn 1 ist Hoehe der Kiste
und 1-y Abstand Leiterfusspunkt zur Kiste)

Beide tan-Zeilen zusammengefasst (haette man auch gleich
nach Strahlensatz hinschreiben koennen):
x/y = 1/(y-1)
nach y aufgeloest: y=x/(x-1)

Dies in den oberen Pythagoras eingestzt:
x!2 + (x/(x-1))!2 = 9
ganze Formel mit (x-1)!2 multiplizieren:
x!2 * (x-1)!2 + x!2 = 9 * (x-1)!2
ausmultiplizieren und umsortieren:
x!4 - 2x!3 - 7x!2 + 18x - 9 = 0

Diese Gleichung duerfte vier Loesungen haben, wuerde
mich nicht wundern, wenn zwei negativ und damit
irrelevant sind, waehrend die anderen beiden
greatmr`s Messungen ergeben sollten.

Bitte um Verzeihung fuer eventuelle Rechenfehler!

Xiangqi
#Unke, SunPlex.:cool:

die Aufgabe stammt mindestens aus den Jahre 1986! In der Zeit tauchte sie in unserer damaligen Firma (GmbH, 56 Mitarbeiter) auf und hielt den GF und viele Angestellte von der Arbeit ab. :D:D
Es gab sogar harte Fehden unter den Kollegen, wie auf dem W:0 - Sofa, mit brutalen Attacken!

....die Lösung(en) war(en) schwierig........

Guter Thread

Gilly
Nochmal zu den Leuten, die glauben, dass es beliebig
viele Moeglichkeiten gibt:
Das stimmt nicht, da die Leiter den Fussboden,
die Kiste und das Haus beruehren soll und dabei
weder in den Boden gerammt werden darf noch eine
Ecke von der Kiste abgeschliffen werden soll und
die Leiter auchnicht in ein Fenster des Hauses,
sondern direkt an die Hauswand ohne Beschaedigung
derselben gelehnt werden soll!
#35,
fragt lieber mal den Dr. Winkler, von wem er abgeschrieben hat :laugh:;:laugh:
Die Excel-Loesungen aus #42 passen sehr gut zu
meinen Formeln, da hat greatmr wohl doch etwas
ungenau gemessen! :laugh:
:laugh:

@xia
ich habe einen ziemlich dicken stift und einen zu kleinen maßstab benutzt :D
Ist meine Herleitung nun akzeptiert und, wichtiger,
gibt es eine elegantere Loesung?
eine gerade durch punkt (1/1)

y=ax+b
d.h.:

1=a+b

schnittpunkt x-achse:
b
schnittpunkt y-Achse:
-(b/a)

d.h.:

-(b/a)!2+b!2=9

gleichungssystem mit 2 Unbekannten, endet bei mir leider auch bei einer gleichung 4. grades, die hab ich dann von excel annähern lassen.

gruss

bardo
bardo, das gefaellt mir fast besser, ist aber
mathematisch natuerlich auch nicht schoener.
Ich fuerchte, um die Gleichung vierten Grades
kommen wir nicht rum :(
Lösungsvorschlag:
Es gibt genau zwei Möglichkeiten, die Leiter anzulehnen.
Dabei berührt die Leiter das Haus in einer Höhe von ca.
2.49m oder 1.67m.

Herleitung:

Abstand des Leiterfußes von der Wand = x + 1
Abstand des Leiterkopfes vom Boden = y + 1

Damit gilt
x=1/y (wg. Steigung der Leiter)
(x+1)^2 + (y+1)^2 = 9 (wg. Pythagoras)

Damit kann x die positiven Nullstellen von
x^4+2x^3-7x^2+2x+1 annehmen

Berechnung unter:
http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/po…
Arktur, danke fuer den link, da habe ich meine
Gleichung auch loesen lassen, komme auf die gleichen
Ergebnisse wie Du. Interessant ist, dass es noch
eine dritte positive Loesung fuer x (bei mir ist
x direkt die Hoehe, siehe #43) gibt, naemlich
x = 0.744. Dies ist offensichtlich ebenso wie
die negative Loesung -2.906 keine fuer die Aufgabe
sinnvolle Loesung, da die Nebenbedingung x>1
erfuellt sein muss.
@xiangqui

ich hab excel mal mit deiner gleichung 4. grades gefüttert:
im bereich > null liegen drei lösungen:

ca. 2,4 ; 1,6; 0,7 m

selbst hab ich mal`n bissken mit AutoCAD konstruiert:

mein ergebnis: 2,49 m (gemessen)

is ja schon peinlich, ich mach grad zum xten mal vermessungskunde hab aber auch keine ahnung bzw bock, mich weiter reinzuknien ;
ne extremwertaufgabe isses jedenfalls nicht, wie einer vermutet hat; ich tipp auf geschicktes basteln mit sin_/cos_satz, additionstheoremen, etc., also reine geometrie...
Gildenkoelsch
Die 1.67 m -Loesung muesste sich zeichnerisch
doch auch bestaetigen lassen oder?
...ist gar nicht so kompliziertm hier stehts genau:

http://www.math.uni-goettingen.de/zirkel/loesungen/blatt08/

ihr müsst nur die geforderte leiterlänge einsetzen...
allerdings muss ich sagen, dass wir das schon vor 1980 in der schule gerechnet haben.
sqrt(3^2-1.67^2)=2.49

Bei mir laeuft die Loesung darauf hinaus, die Nullstellen der Funktion cos(90-alpha)-cos(alpha)/((3cos(alpha)-1) zu berechnen mit h=tan(alpha)+1. Obige Werte eingesetzt funktionieren. Ist aber auch nicht leichter :).
Meine erste Lösung war natürlich falsch:(. Habe jetzt auch nach Lösen einer Gleichung vierten Grades 1.67 und 2.49 raus, und zwar:
x = 3/(1.5+sqrt(3.25-sqrt(10))) = 1.67 und
y = sqrt(9-x^2) = 2.49
1,67 passt zeichnerisch auch - war auch zu erwarten nach der excel-probe

ein problem hab ich allerdings noch mit @Arkturs steigung x=1/y !!!!
wohl einer meiner mentalen aussetzer...sonst wirkts auch plausibel.
Karl, die Aufgabe 1 in Deinem link ist aber
unnoetig kompliziert geloest. All die Rechnungen
waeren gar nicht noetig. Folgende Feststellungen
wuerden reichen:
1. Bei jedem Besuch gelangt die gleiche ganzzahlige
Summe S zur Auszahlung.
2. Auch, wenn ich S nicht berechne, weiss ich, dass
nach 4 Besuchen 4*S ausgezahlt wurden. Da S
ganzzahlig ist, muss 4*S durch vier teilbar, also
gerade sein.
3. Die Summe von 17 ungeraden Zahlen ist ungerade,
also haben die Enkel nach ihrer Zaehlung insgesamt
eine ungerade Summe erhalten

Widerspruch zwischen 2 und 3 ...

----------------------------------------------------
Der Loesungsweg bei der Leiteraufgabe ist auch nicht
viel eleganter als bei uns, aber er benoetigt keine
Numerik!
Gildenkoelsch, so direkt verstehe ich die
Begruendung von Arktur auch nicht, aber
mit dem Strahlensatz kommt man da auch hin
(oder wieder auf zwei Arten tan(alpha) berechnen
wie bei meiner Loesung und den x,y-Definitionen
von Arktur):
(x+1)/(y+1) = 1/y
umgeformt
(x+1)*y = 1 * (y+1)
xy + y = y + 1
xy = 1
x = 1/y
xiangqi, bei dem link solltest du auf die zweite aufgabe achten, die erste war garnicht gefragt... ;)
Karl, bei meinem posting solltest Du auch
auf den zweiten Teil achten, der erste
war nur Zugabe! ;)
Rechnerisch kann ich nicht folgen. Aber...
zeichnerisch gehen nur zwei Maße 2,49 m und 1,69 m.
So ungenau habe ich nicht kartiert, dass 1,67 m richtig sein könnte.

Also Rechenexperten, nochmal ran!
Nee, Juan, stell erstmal Deine Kartierung in
den thread! :laugh:

Ich glaube zur Zeit an unsere Rechnungen,
da recht verschiedene Wege zum gleichen
Ergebnis gefuehrt haben. Da wirst Du wohl
nachrechnen muessen :laugh:
@juan
ich kann dir ja mal ne .dxf oder .dwg mit meiner graphischen lös. schicken...
wennste wert drauf lekst...
nungut, es gibt eigentlich spannendere dinge in den kölner kneipen u.dissen als leitern...(geh ich jetzt noch loss, oder nich...grübel...)
tja, ich schau morgen nochmal rein...
Dass ich sowas noch hinbekomme ... ;)
(Durch eine Kombination von Pythagoras und Strahlensatz kam ich zu der in #54 von Arktur angegebenen Gleichung.
Mein Ergebnis in #27 war etwas gerundet und wich deshalb in der dritten Nachkommastelle vom offiziellen ab.)
#58, Karl:)

guter Link; das Mathe-Inst verläßt bald die alte Bunsenstr. nahe der Innenstadt und zieht mit der gesamten Physik - endlich - auch in den Uni-Nordbereich

Grüsse
Gilly
mann, so spät noch mathe? :lick:

h: abstand von der kiste zum leiterende an der hauswand
b: abstand von der kiste zum leiterende auf dem boden

ich komme auf die gleichung h * b = 1, die erfüllt sein muss.
darauf kommt man entweder über eine geradengleichung mit
den bedingungen f(0) = h + 1 und f(1) = 1 oder über zwei
gleichungen mit zwei unbekannten mit hilfe des pythagoras.

was mir fehlt, sind aber die randbedingungen für h und b,
die dürfen natürlich nicht beliebig sein. bin mal gespannt
auf die lösung morgen. :rolleyes:

mfg,
Cole_T
ich sehs gerade in #60:
x= 1.67 -> b = 0.67
y= 2.49 -> h = 1.49
=> h * b = 0.67 * 1.49 = 0.9983 ~ 1
würde ja schon mal passen!
Sehr amüsant hier.

Die Lehre, die ich aus diesem Thread ziehe ist, ich bleibe bei meiner zeichnerischen Lösung, die ich in zwei Minuten gepackt habe, mit einer Fehlertoleranz von maximal 2 Zentimeter, mithin einer Genauigkeit von 99,66%!

Die Mathematiker streiten jetzt noch nach der dritten Stelle nach dem Komma:laugh:

@Güldenkölsch,
überschätze meine Ressourcen (aber auch mein techn Wissen) nicht. Was benötige ich um .dfx und .dwg lesen zu können?

@Karl

Danke für den link. Den habe ich vorsorglich für meinen Bub gespeichert, der erst bei den binomischen Formeln angelangt ist und nicht weiß was ihm mathematisch noch bevorsteht.

@xiangq:

Kartierung ins Netz:confused:
:laugh:
Sehr viel länger dauert die mathematische Lösung auch nicht.
Und wo bitte streitet sich jemand über die dritte Nachkommastelle?
Nicht so ernst nehmen Pitu,

war nur etwas Ironie im Unterton. Habe ansonsten Respekt vor Leuten die mit dem Strahlensatz etwas anfangen können. Bei mir reicht es nur bis zum Pythagoras. Und der hat mich hier kläglich im Stich gelassen.;)
Moin Moin!!

wer hätte gedacht, dass so viele Spaß daran haben. Mir
wurde diese Aufgabe anno 1989 gestellt... und hatte auch
Mühe auf das Resultat zu kommen.... wie die meisten hier
mit dem Tangens/Pytagoras Lösungsweg.
Sieht ja auf Anhieb wirklich einfach aus....

Gruß

DieUnke
Moin Unke:)
war super, eine Fortsetzung des Kabinetts lohnt sich;
macht Spaß; ich habe nicht gepostet, weil ich die Lösung auch aus den Mitachtzigern kannte!

Einen schönen Tag noch
Gilly
Moin Moin,

mir fällt im Moment keine Neue Aufgabe ein...
hat von Euch einer eine?

Gruß

DieUnke
Einen habe ich doch noch.......

2 2 Liter Gläser, eins mit 0,5 Litern Cola, eins mit
0,5 Litern Burbon.

Jetzt nehme ich den Whisky und schütte einen beliebigen
Anteil in die Cola, vermische es und fülle dann mit dem
Gemisch das Whisky Glas wieder auf 1 Liter voll.

Ist es richtig, dass ich jetzt 2x das gleich Mischungsverhältnis
habe, nur halt einmal für mich und einmal für meine Frau?

Beispiel
---------Cola---Whisky
Meine Frau 5 : 3
ich 3 : 5
Ich nehme mal an, die beiden Glaeser sollen
am Anfang mit je 1l gefuellt sein und nicht,
wie Du schreibst mit je 0.5 l oder aber das
Whisky-Glas wird am Schluss wieder auf 0.5 l
gefuellt?!
Es postet ja niemand eine Antwort. Denkt Ihr auch,
dass es ganz einfach zu sein scheint und dass da
deshalb wohl eine Falle sein muss?
Na gut, dann blamier ich mich mal stellvertretend
fuer alle :laugh:

Wenn sich nach all den Umschuettaktionen
im urspruenglichen Whiskeyglas
x ml Whiskey und y ml Cola befinden,
dann muss gelten x+y=1000, da ja im
gesamten Glas 1 l = 1000 ml Fluessigkeit
sind und keine anderen Fluessigkeiten vorkommen.

Am Anfang waren 1000 ml Whiskey da, x ml befinden
sich im urpruenglichen W-Glas, also muessen
die restlichen (1000 - x) ml im anderen Glas
sein, genauso muessen (1000 - y) ml Cola im
anderen Glas sein, da ver 1000-x = y und 1000-y = x
gilt, sind im urspruenglichen Colaglas y ml Whiskey
und x ml Cola, also genau das umgekehrte Verhaeltnis
als im W-Glas.

Was war falsch?? :laugh:
Moin Moin

@ #83 von xiangqi

Das Resultat stimmt schon..... nur Deinen Weg
verstehe ich nicht..

Der Erste Schritt ist klar, von der Logic her.

Aus Deinem zweiten Schritt geht (oder ich habe
das nicht richtig gelesen)nicht hervor, warum
aus dem Whisky - Cola Gemisch nach der erstem
(x+y>1000 !) zurückgekippt das Resultat ergibt.

Es git hierfür auch eine rein Mathematische Lösung.

Das Volumen von 0,5 oder 1 oder 1000 Litern ist
hierfür egal (jedoch nicht für den Schädel dannach! :laugh: )

Gruß

DieUnke
Mann, Mann, Mann.

Da brauche ich nun wirklich keine mathematischen Formeln für. Wenn ich 2 x die gleiche Menge habe und das beliebig mische, MUSS das Verhältnis in dem einen Glas genau andersherum zu dem anderen sein. Es sei denn, wir verschütten bei der ganzen Pantscherei was ...

Prost - Pyrrah
Hallo Pyrrah,

das stellt auch keiner in Frage....

aber warum ist das so? Das ist der Witz dabei. Wenn Du im
Tagesgeschäft etwas mit Zahlen zu tun hast weisst Du doch,
dass es immer eine/n gibt, der nach dem warum Fragt, oder?

Oder hast Du kein Interesse an Zahlen?

Gruß

DieUnke
Tja, da unterscheiden sich wohl die Interessen. Dinge die ich mit einfacher Logik verstehe, versuche ich nicht mit mathematischen Formeln zu untermauern. - Ich weiß : Alte Spaßbremse, ich.

Ich will trotzdem keinem den Spaß daran nehmen, also haut rein !

Over and out - Pyrrah


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