Kleiner Mathetest..... - 500 Beiträge pro Seite

[greatmr]

Sechs Freundinnen sitzen um einen runden Tisch.
Zwei Sitzordnungen sind gleich, wenn jedes Mädchen die selben Nachbarinnen hat - und zwar auf jeder Seite.

Wieviele Möglichkeiten gibt es?


PS: Mathe, 6. Klasse


Mit Herleitung bitte

[BarnyXXL]

120

[projektionsmatrix]

hmm, ich würde sagen, es gibt 6 Möglichkeiten. Die Plätze am Tisch sollten von 1 bis 6 durchnummeriert sein. Nimmt man eine beliebige Position der 6 Freundinnen als Anfangsposition und soll jede die selbe Tischnachbarin haben, dann sind Veränderungen nur möglich, wenn sie im Uhrzeigersinn rotieren (oder im Gegenuhrzeigersinn). Damit sollte es sechs verschiedene Positionen geben, die die Anfangsbedingung erfüllen. (Vielleicht ist es aber auch ganz anders )

[projektionsmatrix]

@2 : 120 ist doch 6! und beschreibt die Anzahl der Permutationen. Dabei ist die Bedingung der selben Nachbarin kaum erfüllbar.

[projektionsmatrix]

Korrektur, 6! = 720 :-), die 120 sehe ich aber dennoch nicht.

[Fuller81]

mit oder ohne zurücklegen?

[lyta [VIP]]

Mista musst DU jetzt die aufgaben deines sohnes(tochter??) machen??UNd kommst selber nicht weiter???

[Dirac]

6 Personen (a,b,c,d,e,f) lassen sich in einer Reihe (nicht im Kreis) auf 6! verschiedene Arten anordnen.
Schließt man diese Reihen zu je einem Kreis zusammen (z.B. in dem sich Person a und f die Hand reichen), so gibt es gegenüber der Reihenanordnung nun jeweils 6 identische Kreisanordnungen, die durch zyklisches Vertauschen auseinander hervorgehen, denn z.B abcdef im Kreis ist identisch mit bcdefa im Kreis (nicht aber in einer Reihe!)
Also gibt es nur 6!/6 = 5! Anordnungen.
Man kann sich auch vorstellen, dass die Platzierung der ersten Person beliebig ist, da diese nur eine Anfangsmarkierung im Kreis darstellt. Die zweite Person hat dann 5 Möglichkeiten in Bezug auf die erste Person(nämlich einen der 5 noch leeren Stühle, die 3. Person dann noch 4 Möglichkeiten, usw. Also insgesamt 5*4*3*2*1 =5!=120 Möglichkeiten.

Gruß Dirac

[Guenni_Schwagalla]

!

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[Punk24]

Für 6. Klasse ist das aber harte Kost. ! hatten wir erst in der 10...

[Punk24]

für fußballfans:

2 Fußballmannschaften befinden sich auf dem Platz. beide noch in voller Aufstellung von je 11 Spielern (keine roten Karten etc... ). wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 beliebige spieler am gleichen Tag geburtstag haben

[Fuller81]

Ich schließ mich Dirac an.

[Fuller81]

Kommt drauf an, ob Zwillinge mitspielen.

[Punk24]

[kpk]

Gut, daß ich nach der 5.Klasse von der Schule geflogen bin ... da musste ich mich wenigstens nicht mit derartig beknackten Aufgaben rumschlagen

[helmut_kohl]

Es gibt 60 Moeglichkeiten. Man nehme die Loesung von Dirac und teile durch 2, weil je zwei Moeglichkeiten a la dirac Spiegelbilder sind und demnach identisch nach der Definition von greatmr.
Z.B.:
a b c d e f
ist die gleiche Sitzanordnung wie
a f e d c b
(weil der Kreis ja geschlossen wird!)

[Cartman24.]

#11
16 zu 1 oder?

[Dirac]

@helmut_kohl
Die Aufgabenstellung von greatmr ist in der Tat nicht ganz eindeutig.
Ich verstehe die Passage: "...die selben Nachbarinnen hat -und zwar auf jeder Seite" so, dass es eben nicht egal ist ob die Sitzordnung .abc.. oder .cba.. ist.
Du interpretierst das offensichtlich anders.

Gruß Dirac

[yoda8]

#10

In der 6.Klasse wurde wohl randalieren gelehrt?
Oder Stalinismus?

10.Klasse
(oder 5x sitzengeblieben?)

Grundkurs Marktwirtschaft in der kam wohl erst in der 25.Klasse

PS: Ich habe dies sogar in der 5.Klasse gehabt.

[GauJones]

Das ist mal wieder so eine Aufgabe,
von der man aber auch gar nichts hat,
wenn sie gelöst wurde, außer ein paar
Minuten kostbare Lebenszeit verschwendet.
:O

Es bringt doch nichts, wenn man solche Aufgaben
löst und im Supermarkt an der Kasse einen Taschenrechner
braucht, um die Preise für 1 Liter Milch und 6 Eier
zu berechnen.

[EasyCome]

Die Fragestellung mit den Fussballern ist nicht
lösbar, da nicht darauf eingegangen wird, ob das
Jahr des Fussballspiels ein Schaltjahr ist oder nicht.

Easy
(der sich bei kniffligen Mathefragen immer an den
schwäbischen Grundsatz erinnert:
Dumm derft ma seid. Nur net ogschiggt ...)

[Sofakles]

versteh ich nicht HK (tss,wie Heidi )

damit eine Anordnung echt neu ist ,genügt es doch wenn die linke Nachbarin verschieden ,sonst hätte es des Zusatzes "und zwar auf jeder Seite" nicht bedurft !

Die Notierung abcdef
steht dann für b ist li.N. von a , c ...von b , usw und schließlich a ist li.N. von f ,um den Kreis zu schließen !

In diesem Sinne ist afedcb ungleich abcdef !

also 120 ,so ungemein groß die Zahl auch erscheinen mag

Eine wöchentl.Kaffeekränzchensextett könnte demnach länger als 2 Jahre lang jedesmal eine neue Sitzordnung einnehmen ,die noch nie dagewesen zuvor ,...und das ohne akrobatische Sitz-oderHockstellungen zelebrieren zu müssen

[Dirac]

@ Punk24
Du meinst vermutlich "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben.( Falls Du meinst "genau zwei Spieler", ist die Aufgabe mit ziemlichem Rechenaufwand verbunden.)
Am einfachsten ist es, das Gegenereignis zu "mindestens zwei Spieler haben am gleichen Tag Geburtstag" zu betrachten; dieses Gegenereignis lautet: "Alle 22 Geburtstage sind verschieden" und seine Wahrscheinlichkeit ist "leicht" zu berechnen: (365*364*363*362*.......365-22+1)/(365hoch22);
Die Wahrscheinlichkeit für "mindestens zwei Spieler haben am gleichen Tag Geburtstag" ist deshalb:
1 - (365*364*363*362*.......365-22+1)/(365hoch22)= 0,476.

d.h. die Wahrscheinlichkeit, das mindestens zwei Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben ist etwa 48%

Gruß Dirac

[Tribun100]

[helmut_kohl]

@ dirac

so wie die Aufgabe gestellt war ist es aber egal ob ich a auf der linken Seite und c auf rechten habe oder vice versa. In beiden Faellen habe ich die gleichen Nachbarinnen.

Aber warten wir mal ab was greatmr meint. Der muss die Loesung ja kennen.

[plowy]

@ dirac

Du machst deinem Namensvetter alle Ehre!!



Paul A. M. Dirac

Paul Adrien Maurice Dirac (* 8. August 1902 in Bristol; † 20. Oktober 1984 in Tallahassee) war ein britischer Physiker und Mitbegründer des Gebiets der Quantenphysik.

Inhaltsverzeichnis [AnzeigenVerbergen]
1 Biographie
2 Ansichten
3 Siehe auch
4 Weblinks

Biographie

Dirac wurde in Bristol, Gloucestershire, in England geboren. 1926 entwickelte er eine Fassung der Quantenmechanik, die die Matrizenmechanik Heisenbergs und die Wellenmechanik Schrödingers als Spezialfälle enthielt. Die klassische Mechanik ergibt sich daraus als Spezialfall der Quantenmechanik.

1928 stellte er auf Grundlage der Arbeit von Pauli über das Ausschließungsprinzip die nach ihm benannte Dirac-Gleichung auf, bei der es sich um eine relativistische, also auf der speziellen Relativitätstheorie beruhende Wellengleichung zur Beschreibung des Elektrons handelt. Sie lieferte eine theoretische Erklärung für den anomalen Zeeman-Effekt und die die Feinstruktur der Wasserstofflinien und Röntgenspektren. Sie erlaubte es Dirac, seine Löchertheorie zu formulieren und die Existenz des Positrons, des Antiteilchens des Elektrons vorherzusagen. Das Positron wurde darauf 1932 von Anderson in kosmischer Strahlung nachgewiesen. Dirac erklärte die Herkunft des Quantenspins (Eigendrehimpuls) als relativistisches Phänomen.

Seine 1930 veröffentlichte Arbeit The Principles of Quantum Mechanics (deutsch Die Prinzipien der Quantenmechanik, 1930) war wegbereitend für den Gebrauch von Linearoperatoren als Verallgemeinerung der Theorien von Heisenberg und Schrödinger. Mit ihr wurde auch das Deltafunktional sowie die Bra-Ket-Notation eingeführt, in der |ψ> einen Zustandsvektor im Hilbertraum eines Systems bezeichnet und <ψ| den zu ihm dualen Vektor.

Dirac schöpfte den Begriff des Bosons in Anerkennung der Verdienste von Satyendra Nath Bose um die Quantenstatistik.

Im Jahr 1933 erhielt Dirac zusammen mit Schrödinger den Nobelpreis für Physik »für die Entdeckung einer neuen, nützlichen Form der Atomtheorie«. 1952 wurde ihm die Max-Planck-Medaille verliehen. Er war von 1932 bis 1969 Professor des Lucas-Lehrstuhls für Mathematik an der Universität Cambridge. Der Dirac-Preis wird ihm zu Ehren verliehen.

Ansichten

Dirac war überzeugter Atheist. Auf die Frage nach seiner Meinung zu Diracs Ansichten bemerkte Pauli, »Wenn ich Dirac richtig verstehe, meint er Folgendes: Es gibt keinen Gott und Dirac ist sein Prophet.«

Siehe auch

* Dirac-Gleichung
* Fermi-Dirac-Statistik
* Dirac-See
* Löchertheorie
* Dirac-Impuls, Deltafunktion
* Dirac-Hypothese
* Monopol

[Dirac]

@Tribun:
Die Fußballeraufgabe von Punk24 ist eine Standardaufgabe(für Mathematiker) und man findet eine Vielzahl an Erklärungen und mehr oder weniger ausführlichen Rechnungen unter dem Stichwort "Geburtstagsproblem" bei Google!

Gruß Dirac

[BonMala]

12

Kreisförmig durchnummeriert im Uhrzeigersinn
kann jede einen Platz weiter rutschen= 6 mal,
anschließend die spiegelbildliche Position,
und diese ebenfalls 6 mal.

ist doch ganz einfach....

[Dirac]

@ plowy
An der Börse nützen mir meine Kenntnisse leider (fast) nichts.
Börse ist nicht berechenbar. Schade!

Gruß Dirac

[dawai]

null

[greatmr]

der hilferuf kam von meiner nichte,

aber ich konnte schon mit der frage selbst nix anfangen

ob ihr allerdings jetzt eure lösungsansätze weiter helfen......
wir werden sehen

danke

[Quirli]

So wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe sind es 60 Möglichkeiten:

für 4 Freundinnen sind es genau 3= 3*2*1/2

für 5 Freundinnen sind es 12= 4*3*2*1/2

dann sind es für 6 Freundinnen 60= 5*4*3*2*1/2

also für n=Anzahl der Personen gilt:

(n-1)*(n-2)*...*(n-(n-2))*(n-(n-1))/2

oder kürzer (n-1)!/2

aber das für die 6. Klasse?

Schaun mer mal

uirli

[broker2204]

ad 11)

fast 50:50

also fast 50 %

in etwa das wahlergebnis einer NPD in 10-12 jahren

[lyta [VIP]]

WOW seid ihr alle gscheit
Ich hab da nicht durchgeblickt --+ wenn ich bei den mädels gwesen wäre , hätt ich sicher NICHT neben der einen oder anderen sitzen wollen, also erübrigt sich das ganze
Ich wünsch @all hier ein gutes wachstum dieses speziellen bäumchens

Guten Morgen GÄRTNER des GELDES

[Paepstin]

Nachbarinnen und gleichzeitig Freundinnen? Ausgeschlossen!

Nicht lösbar!
BASTA!

Päpstin

[g.poldy]

zu #1

ich würde sagen es gibt 12 Möglichkeiten und zwar einmal den Kreis um jeweils eine Position weiterdrehen (6 Möglichkeiten) und dann einfach "den Kreis spiegeln" und nochmal Positionen weiterdrehen (6 Möglichkeiten)
Bei allen anderen Varianten gibt es keine Möglichkeit die gleichen Sitznachbarn zu behalten.

[Punk24]

Dirac ist echt klasse

über H_k`s einwand zu #8 muss ich erst noch mal nachdenken

[Punk24]

Hab mir gerade #1 nochmal in ruhe durchgelesen. Kann es sein, dass wir alle zu kompliziert denken

....und das es nur 6 möglichkeiten gibt

jedes mädchen muss die gleichen nachbarinnen haben

[Punk24]

1-2-3-4-5-6

2-3-4-5-6-1

3-4-5-6-1-2

4-5-6-1-2-3

5-6-1-2-3-4

6-1-2-3-4-5

wenn ich jetzt Positionen tausche, sind nicht mehr bei jedem Mädchen alle Nachbarinnen gleich. Da ein kreisrunder tisch auch spiegelsymetrisch ist, erhöht auch eine Spiegelung, wie von g-poldy vorgeschlagen die Anzahl der Möglichkeiten nicht....

[Punk24]

alles andere wäre auch zu schwer für Klasse 6

Da müssen dann die Mathe-Freaks vom WO-Board ran

[Dr.Ecksau]

Ich sehe da jetzt aber auch kein größeres Problem...
Für eine REIHE: 6*5*4*3*2=720
Für einen KREIS: 5*4*3*2=120

[Punk24]

Sechs Freundinnen sitzen um einen runden Tisch.
Zwei Sitzordnungen sind gleich, wenn jedes Mädchen die selben Nachbarinnen hat - und zwar auf jeder Seite.


Wer zeigt mir die 7. oder meinetwegen die 120. gleiche Sitzordung (#39)

[Fuller81]

Wie man an einem so kleinen Tisch 120 verschiedene Sitzordnungen hinbekommen soll, bei der auch noch alle die gleichen Nachbarn haben halte ich doch für sehr gewagt.

Außerdem sollen sie doch an jeder Seite die gleiche Nachbarin wieder haben. Also die Linke und die Rechte muss auch weiterhin links und rechts sitzen.

Folglich gibt es 6 Möglichkeiten.




Hier kann man das Fußballproblem berechnen lassen:

http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/geburtstag/

[Sofakles]

he punk24
du diskutierst ja die (erläuternden) Voraussetzungen ,die nur genannt sind ,damit wir wissen wonach wir nicht suchen sollen , welche Sitzanordnungen quasi in einen Topf getan werden können und deshalb nur 1x zu zählen sind ! Stell dir den Tisch einfach rund und drehbar wie in Riesenrad oder frei im Weltall rumschwirrend vor ,jedenfalls ohne Nummerierung der Einzelplätze !

Dabei entspricht deine sinnige Aufzählung übrigens genau meinem Verständnis , was 120 als Lösung ergäbe .

Der Ansatz von Quirli in #32,zwecks der Übersichtlichkeit erst mal zu schauen was bei weniger Leuten so passiert , lässt den Hauptkonflikt sich zu spitzen bei nur N= 3 Leuten am Tisch !
Gibts dann nur 1 oder eben 2 Möglichkeiten ,wie sie sich setzen können ?
da rechts nicht gleich links ,ist es sicher ein Unterschied ,ob etwa die Taschendiebin links sitzt oder rechts ..zumindest wenn man teure Uhr trägt

[Sofakles]

...zumindest wenn man teure Uhr trägt
wenn es Männer gewesen wären hätte ich in 44 gesagt

..zumindest ,wenn man gemeiner Linksträger ist !

um etwas Wgerecht zu formulieren

[sternenfee]

# 35

[Dr.Ecksau]

Sitzt Person B zwischen A und C, gilt das als EINE Möglichkeit. Der Rest sei jetzt mal dahingestellt.Die Hauptfrage ist doch wohl folgende: Zählen dann die folgenden möglichen Konstellationsmöglichkeiten zwischen D, E und F, oder zählen sie NICHT ?

[Punk24]

Ich glaube, wir müssen warten, bis greatmr`s tochter aus der schule zurück ist

[Punk24]

@ sofakles: der tisch ist eben nicht drehbar und die Positionen sind nicht beliebig. ausgehend von diesen voraussetzungen ist #39 doch richtig....oder.....ich glaube ich werd wahnsinnig

[Dr.Ecksau]

Mittlerweile glaube ich, dass der Tisch gekrümmt ist und man das Oberflächenintegral der Tischplatte vom Mittelpunkt bis zum Ende der Tischdecke bilden, das Resultat dann nach der Periodenzeit des 4. Mädchens ableiten, durch die Fakultät der Tischbeine dividieren und mit dem IQ des Fragestellers multiplizieren muß. Das Ergebins muß im Bereich der unnatürlichen Zahlen liegen, sonst wäre es natürlich falsch. q.e.d.

[sternenfee]

und außerdem muß man berücksichtigen, daß 2 der freundinnen brillenträger sind und eine schweißfüße hat

[Sofakles]

6 klässler aufgabe und soviel getöns !

so lustig #35 klingen mag ,
kann aber guten Gewissens aus eigener Erfahrung widersprechen : Nachbarinnen können miteinander können

übrigens auf Mathelehrer ,selbst Gym , ist auch nicht 100pro Verlaß , hab da schon einiges an Inkompetenz zu sehen und hören bekommen ,red jetzt nicht von meiner Schulkindzeit .

Nehme jetzt meinen Hut hier ,zumindest was diese mathemat.Aufgabe anbelangt !

[sternenfee]

und der absolute brüller ist der tv sender 9 live / tm3......die können ihre eigenen quiz-rechenaufgaben nicht richtig lösen

[sternenfee]

z.b. 20 x 2 :1/2 =



was bringt ihr raus

[Dr.Ecksau]

DIe Frage ist schlicht und ergreifend nicht eindeutig formuliert.
@greatmr - bist Du Dir sicher, die Frage korrekt beschrieben zu haben, oder ist das jetzt nur so aus dem Gedächtnis heraus geschrieben?

[CutPall]

80

[Punk24]

jetzt hat auch unser Dr. die ersten zweifel.

[dachs40]

Die Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt, da auch "Unbekannte" (X) in die Rechnung einbezogen werden müssen. Betritt beispielsweise ein gutgebauter Mann den raum, legen sich mindestens 2 Mädels sofort auf den Rücken. Also sitzen nur noch 4 am Tisch und 2 kümmern sich um den Burschen. Also, man müsste erstmal eine Gleichung mit mehreren Unbekannten aufstellen

[kpk]

Auch nicht berücksichtigt wurde, daß sowieso nie 6 Mädchen am Tisch sitzen, da immer mindestens 2 gleichzeitig auf der Toilette sind.

[sternenfee]

# cutpall......genau.....das dachte ich auch



aber der anrufer mit der lösung 80 wurde abschlägig beschieden, bekam also das geld nicht........und eine spätere anruferin sagte 60 und das wurde als richtig eingestuft, bejubelt ... und sie bekam das geld...

......und ich hab nicht schlecht gestaunt


wenn ihr euch mal richtig amüsieren wollt, müßt ihr euch 9 live geben

[lyta [VIP]]

Die aufgabe geht total am RL vorbei ---VERSUCH DOCH EINMAL 6 FRAUEN ODER MÄDCHEN AN EINEN runden tisch zu bekommen
Das schafft KEINER

[sternenfee]

[greatmr]

es ist schon schwierig, sechs runde mädchen überhaupt in einen raum zu bekommen, ohne dass sie sich gegenseitig die augen auskratzen


btw.
wir bekommen die lösung heute noch nicht, da die hausaufgabe eingesammelt wurde und erst später benotet wird

[sternenfee]

matze......wahrscheinlich werden die lehrer die aufgabe zu 9 live weiterleiten und die lösens dann

[Fuller81]

Der Lehrer kennt die Antwort bestimmt auch noch nicht und hat sie deshalb mal eben eingesammelt.

[Fuller81]

Bei uns wurden Hausaufgaben früher nie eingesammelt und schon gar nicht in Mathe. Einfach Ergebnisse vergleichen und ob man es falsch oder richtig hatte interessierte meist niemanden.

[plowy]

Die frühe Lösung von dirac ist "wohl sicherlich richtig", wenn nur die Anordnungen als gleich gelten sollen, bei denen es darauf ankommt, dass auch die Seite stimmt, auf der man zur Bezugsperson sitzt. (Alle diese Anordnungen haben den selben Umlaufsinn).

diracs Rechnung war:
6 Personen (a,b,c,d,e,f) lassen sich in einer Reihe (nicht im Kreis) auf 6! verschiedene Arten anordnen.
Schließt man diese Reihen zu je einem Kreis zusammen (z.B. in dem sich Person a und f die Hand reichen), so gibt es gegenüber der Reihenanordnung nun jeweils 6 identische Kreisanordnungen, die durch zyklisches Vertauschen auseinander hervorgehen, denn z.B abcdef im Kreis ist identisch mit bcdefa im Kreis (nicht aber in einer Reihe!)
Also gibt es nur 6!/6 = 5! Anordnungen.
Man kann sich auch vorstellen, dass die Platzierung der ersten Person beliebig ist, da diese nur eine Anfangsmarkierung im Kreis darstellt. Die zweite Person hat dann 5 Möglichkeiten in Bezug auf die erste Person(nämlich einen der 5 noch leeren Stühle, die 3. Person dann noch 4 Möglichkeiten, usw. Also insgesamt 5*4*3*2*1 =5!=120 Möglichkeiten.


Darf ein Mädchen anstatt auf der rechten Seite ihrer Nachbarin einer bestimmten Anordnung Z auch auf der linken Seite sitzen, dann müssen sich bei allen Sitznachbarinnen die Seiten vertauschen. Dann ist aber auch der Umlaufsinn entgegengesetzt zum Umlaufsinn der Anordnung Z. Insofern ist mein Vorschlag, dass man zu jeder Anordnung nun noch eine gleichwertige gespiegelte nehmen muss, wenn die Aufgabe auch verschiedene Seiten des Sitzens zulässt. Das ergäbe also - da ja immer zwei der ansonsten 120 Varianten gleichwertig wären - 60 Möglichkeiten, wenn es auf die Seitenrichtigkeit nicht ankommt. Vielleicht stimmts

[plowy]

Inzwischen bin ich von der Richtigkeit meines letzten Postings überzeugt.
Bei vier Personen lässt sich ja im Sinne diracs zweiter Begründung leicht auf ein Blatt Papier aufzeichnen, dass es sechs Anordnungen für die Personen A, B, C und D gibt. (Ich habe A fest "unten" hingesetzt, die anderen rechts, oben und links veteilt.)
Das ergibt sich analog diracs Rechnung aus (4 - 1)! = 3! = 3*2 = 6.
Je zwei meiner aufgezeichneten Anordnungen liefern aber "seitenverkehrt" wieder das Selbe. Somit gibt es - je nach Interpretation der Aufgabenstellung - bei vier Personen 6 bzw 3 mögliche Anordnungen, bei greatmrs Aufgabe mit 6 Mädchen also 120 bzw. 60.

(Bei 3 Mädchen sind es 2! = 2 Möglichkeiten bei Seitenrichtigkeit, 2!/2 = 1 Möglichkeit, wenn die Sitzseite keine Rolle spielt).

[Dirac]

Warum kann ich die hier Anwesenden denn mit dieser Lösung des Tischproblems nicht überzeugen:
Man kann sich vorstellen, dass die Platzierung der ersten Person beliebig ist, da diese nur eine Anfangsmarkierung im Kreis darstellt. Die zweite Person hat dann 5 Möglichkeiten in Bezug auf die erste Person(nämlich einen der 5 noch leeren Stühle, die 3. Person dann noch 4 Möglichkeiten, usw. Also insgesamt 5*4*3*2*1 =5!=120 Möglichkeiten.

Das kann doch auch ein 6.Klass-Schüler verstehen, oder??

Gruß Dirac

[Fuller81]

Weil es 120 unterschiedliche Möglichkeiten gibt sich an den Tisch zus etzen. Allerdings haben die dann immer andere Nachbarinnen.

Außerdem wird Fakultät garantiert nicht in der 6. Klasse eingeführt.

a hat lediglich 6 Möglichkeiten sich einen Stuhl auszusuchen. bcdef müssen sich dann in der immer gleichen Reihenfolge neben a setzen, um den Kreis aufzufüllen. Sie haben kein WAHLRECHT mehr.

[Punk24]

die Dirac-Lösung geht von der annahme aus, dass an dem Tisch ein Mädchen die gleichen sitznachbarn hat.

die Punk-Lösung geht davon aus, dass alle Mädchen die gleichen Sitznachbarn haben.

Ich hatte zunächst auch die dirac-Lösung, bis ich mir die aufgabe nochmals durchgelesen habe. Das hätte ich wohl nicht tun sollen

bei der Lösung bin ich ähnlich wie Plowy vorgegangen. Mein einfachstes beispiel war ein Tisch mit 3 Mädchen.

[greatmr]

wir können uns ja schon mal darauf einigen, dass die fragestellung total behämmert - weil nicht eindeutig - ist.
wer auch immer sich das ausgedacht hat....

[Quirli]

Man, nun habe ich mitten in der Nacht noch extra gepostet und dann gefällt niemandem meine Lösung

Probierts doch einfach mal durch:

n=2: ein Sonderfall, da jeder nur einen Nachbarn hat..es gibt nur eine Variante

n=3: a b c und a c b; b a c und c a b ; b c a und c b a , normaler Weise, rein kombinatorisch gesehen 3*2*1= 6 Möglichkeiten, nun heißt es aber in der Aufgabenstellung: zwei Sitzordnungen unterscheiden sich nur dann, wenn mindestens ein Mädchen mindestens eine neue Nachbarin erhält

schaut man sich nun hier alle 6 Möglichkeiten an, sind sie nach dieser Aufgabenstellung alle identisch…durch die Sitzordnung im Kreis, die hier immer für eine zwei Nachbarinnen betrachtet, hat man hier schon nicht mehr drei Basisvarianten mit je zwei Variationen, sondern nur noch zwei (n-1) und danach keine weiteren Variationsmöglichkeiten, wobei diese zwei Basisvarianten auch noch indentisch sind, es ergibt sich also: 2*1 und nicht 3*2*1 und das müssen wir durch die Anzahl Varianten, die immer spiegelgleich sind (nämlich immer zwei) noch teilen, also 2*1/2=1

bei n=4 ist es noch übersichtlich:

a b c d ; b a c d; b c a d; drei Grundvarianten, a wird durchgereicht, alle weiteren Varianten stimmen mit eben diesen überein, das kann man sich leicht erklären:
1. a sitzt zwischen b und d , c könnte sich bewegen, aber wohin? c hat keine Austauschmöglichkeit mit einem weiteren Mädchen, es gibt also für diese Nachbarschaft von a keine weiteren Varianten,

also gilt auch hier (4-1)*(4-2)*(4-3)/2= 3*2*1/2=3

aufwendiger wird es bei n=5..eine Nachbarschaft legt man fest (3 Mädchen sind fixiert), dann hat man immer noch zwei abgeleitete Möglichkeiten, wobei auch wieder identische dabei sind, weil man ja im Kreis sitzt:

es gilt auch hier (5-1)*(5-2)*(5-3)*(5-4)/2=4*3*2*1/2=12

probiert es selbst aus, macht etwas Mühe

Hat mich jetzt einer verstanden? Sagt doch bitte mal „ja“, wenigstens einer, wenigstens Du Matze, Du bist doch Bänker und kennst dich mit Zahlen aus.

wer für 6! Plädiert überlege sich, dass dann für 4 ja auch 4! Gelten müsste und das sind 24…ich weiß nicht, wie ihr das hinbekommen wollt und selbst 3! Stimmt bei 4 Mädchen auch nicht.

Für n=6 gilt nach meinem Verständnis der Aufgabenstellung 5!/2=5*4*3*2/2=60

Aber vielleicht habe ich auch einen Denkfehler drin, oder die Aufgabenstellung falsch interpretiert.

Ist eigentlich eine typische Aufgabe aus dem Gebiet der Kombinatorik, wobei sich nach meiner praktischen Erfahrung selbst Erstsemester der Informatik damit schwer tun.

Man weiß aber nicht, was vorher im Unterricht besprochen wurde, vielleicht hat man es ja wirklich praktisch mit 4 und 5 ausprobiert und sehr viel Spaß dabei gehabt, dann Hut ab, Mathelehrer.

Wenn nicht, dann gute Nacht, …so könnte man 90% der Kinder deutlich vor Augen führen, dass Mathe nix für sie ist und es nicht einmal der Lehrer richtig versteht…was natürlich absoluter Unsinn ist, denn es gibt nichts klareres, als Mathe

uirli

[Quirli]

In der Aufgabenstellung stand doch, alle sitzen im Kreis und zwei Sitzordnungen sind nur dann unterschiedlich, wenn mindestens ein Mädchen eine neue Nachbarin hat...so habe ich es jedenfalls verstanden...

[plowy]

@ Dirac
Dein Beitrag kam zwar knapp 10 Minuten nach meinem, aber du hattest ihn vielleicht zuvor nicht gesehen. Ich bin vollständig mit dir einig, allerdings sehe ich den Aufgabentext zweideutig, so dass - wie oben gesagt - je nachdem 120 oder 60 die richtige Antwort ist.

Bei n Personen gibt es genau n! verschiedene Arten, wie die n Personen am Tisch Platz nehmen können. Im Sinne der Aufgabe gibt es von jeder Platznahme n gleichwertige (wie ganz oben bei Dirac formuliert gehen sie durch zykl. Vertauschungen ineinander über). Somit liegen n!/n = (n-1)! unterschiedliche Sitzordnungen vor.

Speziell bei "unseren Sechs" also: 5! = 120.
Eine Variante (sagen wir linksrum um den Tisch gesetzt) ist z. B. d-a-c-f-b-e (wobei dann nach e wieder die Erstgenannte d sitzt). e-b-f-c-a-d (und dann wieder e) ist bei deiner Zählung von d-a-c-f-b-e unterschieden, doch hat jedes der sechs Mädchen wieder die selben zwei Mädchen neben sich, nur auf anderen Seiten. [Z. B. sitzen neben f bei der ersten Variante "c und b", bei der zweiten Variante "b und c"]. Laut Aufgabenstellung müsste das erlaubt sein und ergibt die Lösungsanzahl 60, sind die unterschiedlichen Sitzseiten nicht erlaubt, dann gilt die Lösung 120.

(Für einen 6.Klässler halte ich die Besprechung der Lösung für ganz schön schwer!)

@ fuller 81
Die Fakultätsschreibweise wird natürlich in Kl. 6 wohl nicht benützt, die verwenden wir hier eben zur Vereinfachung.

@ quirli
Deine Erklärung mit "3 fixierten Mädchen" verstehe ich (noch) nicht, aber vom Ergebnis her sind wir ja einig.

Gruß plowy

[Karl]

Bei n Personen gibt es genau n! verschiedene Arten, wie die n Personen am Tisch Platz nehmen können.

kontra!
diese prämisse zieht nicht im sinne der aufgabenstellung. schaun mer mal:
Zwei Sitzordnungen sind gleich, wenn jedes Mädchen die selben Nachbarinnen hat - und zwar auf jeder Seite

also gut, die lassen laut aufgabe somit spiegelpositionen als eigene varianten zu! bei zwei personen ist eh nur eine möglichkeit gegeben, denn die spiegelvariante der zweiergruppe ist "nachbarmässig" immer noch identisch.

auch bei dreien sind egal wie du sie setzt immer dieselben nachbarn nebeneinander, allerdings gibt es die spiegelung rechts/links. also zwei varianten.
es ist dabei sowas von egal, auf welchem stuhl du anfängst. wenn alle mit aufrücken haben bei drei personen pro variante alle immer dieselben nachbarn und sind somit gleich. und jede dieser varianten gespiegelt ergibt ebenfalls dieselben nachbarn. da gibts einfach keine sechs möglichkeiten, sondern nur zwei, das sollte einem der gesunde menschenverstand sagen...

fazit: quirlchen hat (fast) recht.
lösung: (n-1)!

der wert "n-1" berücksichtigt die sitzplatzverschiebung und nimmt alle gleichen ordnungen mit anderen startsitzen raus, die von quirli eingesetzte halbierung dagegen filtert alle spiegelpositionen, bei denen die nachbarn ja auch gleich bleiben und nur links und rechts tauschen. aber laut aufgabenstellung sind das eigene gültige varianten!

ich hoffe das war nicht zu kompliziert erklärt...

[plowy]

@ karl
>Bei n Personen gibt es genau n! verschiedene Arten, wie die n Personen am Tisch Platz nehmen können.
kontra!
diese prämisse zieht nicht im sinne der aufgabenstellung.

Karl, die obige Aussage gilt zunächst ganz grundsätzlich. An sechs Plätzen an einem Tisch können 6 Personen auf 6! verschiedene Weisen platziert werden, also noch nicht im Sinne der Aufgabe.


Sorry, „altbundeskanzler h_k“, du hast wohl in #16 schon im Wesentlichen das gesagt, was ich heute Abend ähnlich angeführt habe. Es hätte also von mir her genügt, deiner Meinung zuzustimmen. Ich hätte zuerst alle Beiträge durchlesen sollen.
Randbemerkung: Ich finde das Problem richtig hübsch!
Gute Nacht, plowy

[Quirli]

Quirli hat recht! Immer!

ich habe es so verstanden:

abc und cba sind identische Sitzordnungen, denn b hat immer dieselben Nachbarinnen, das gleiche gilt demzufolge für a und c.

es ist egal, ob a rechts oder links von b sitzt, es gilt ja jedesmal die Eigenschaft a ist Nachbarin von b...deshalb sind beide Varianten als eine anzusehen.

aber schaun mer mal, wie der Pauker das auslegt oder tatsächlich gemeint hat.

Nachti

Muss morgen wieder früh raus und schwer arbeiten...habe also tagsüber keine Zeit, mit Euch hier rumzuknobeln...jeden Tag ...immer immer wieder...

[Quirli]

@plowy: fixierte Mädchen

beim Betrachten der Möglichkeiten n=5:
abcde...ich halte abc fest und schaue, wieviele Varianten es davon ausgehend gibt...noch eine, denn ich kann d und e vertauschen..dann reiche ich a durch: bacde, halte wieder die ersten drei fest und kann wieder nur noch zwei vertauschen...usw.

so entstehen vier Grundvarianten für a mit je zwei abgeleiteten Varianten, macht 8

dann reiche ich von der Ausgangsvariante aus gesehen b durch ...usw....

bei meinem Verständnis der Aufgabenstellung darf man die Mädchen aber nur in eine Richtung weiterversetzen und muss immer genau schauen, ob tatsächlich neue Sitzordnungen entstehen...so kommt man auch empirisch auf das Ergebnis.

verstehst Du mich jetzt?

ich finde auch, dass es eine nette Knobelaufgabe ist und wenn sie im Unterricht gut vorbereitet wurde, auch machbar...ich hätte es allerdings bei n=5 belassen und hätte die Kids dann gefragt, ob sie eine Gesetzmäßigkeit erkennen können, woraus man auch auf die Varianten für n>5 Personen schließen kann, sozusagen als Zusatz für die, die logisch denken können (die Mädchen )

So, nun bin ich aber wirklich weg...

[helmut_kohl]

Ich darf trotzdem festhalten, dass ich zwar nicht der einzige, aber der erste war (Beitrag #16), der die richtige Loesung gefunden hat: 60 Moeglichkeiten = 5!/2
120 Moeglichkeiten waeren es, wenn abc und cba unterschiedliche Varianten waeren. Da aber nach meiner Auffassung in beiden Faellen person b die gleichen Nachbarn hat, zaehlt das fuer mich als eine Variante.
Der Zusatz in der Fragestellung “und zwar auf jeder Seite” soll nur ausschliessen, dass abc und abd als eine Variante gelten: b hat zwar in beiden Faellen den Nachbarn a, aber es sind trotzdem zwei Varianten, weil ein Nachbar nicht ueberein stimmt.

So wie die Frage gestellt war, kann man relativ einfach die Schueler nach ihren Mathenoten aufteilen:
Die Schueler in der Region ausreichend-mangelhaft kommen it der Loesung 6 oder aehnliches: Absolut kein Matheverstaendnis.
Die Schueler in der Region befriedigend kommen zur Loesung 6!=720. Schon fast richtig, aber uebersehen, dass die Anfangsposition irrelevant ist, deshalb muss man wieder durch 6 teilen.
Die Schueler in der Region gut kommen zur Loesung 5!=120. Schon ganz nahe dran, aber trotzdem noch uebersehen, dass man noch durch 2 teilen muss um Spiegelbilder auszuschliessen.
Und letztlich die Schueler mit der Note sehr gut, die mal wieder an alle kleinen Kleinigkeiten gedacht haben. So wie ich.

[projektionsmatrix]

Meines Erachtens haben die meisten die Aufgabe nicht richtig durchgelesen. Die Prämisse war: Die 6 Freundinnen sitzen bereits an dem Tisch. Jetzt ist die nicht die Frage, auf wie viele Arten und Weisen man sie anordnen kann o.ä. , sondern, wie man die bereits sitzenden so anordnen kann, dass jedes Mädchen immer wieder die gleiche Sitznachbarin hat. Und ich bleibe dabei, das geht nur auf 6 verschiedene Arten, vor allem nicht auf 60 oder 120 verschiedene Arten, weil die Anfangsbedingung dann nicht erhalten bleiben kann.

SO!

[Sofakles]

80 Helmut Kohl du machst deinem Nick ja alle Ehre

Die Schueler in der Region gut kommen zur Loesung 5!=120. Schon ganz nahe dran, aber trotzdem noch uebersehen, dass man noch durch 2 teilen muss um Spiegelbilder auszuschliessen.
Und letztlich die Schueler mit der Note sehr gut, die mal wieder an alle kleinen Kleinigkeiten gedacht haben. So wie ich.

Gestatte mir Hinweis an deine "sehr guten" :
Man kann auch zuviel denken ! - was man allerdings durch anschließendes nochweiter denken i.d.Regel wieder wettmachen kann
die Hilfestellung findest du bei Karl ,eigens herabgestiegen aus den Unermeßlichkeiten des Alls zu 6.klass-W:0 , oder zb aus meiner

#22
damit eine Anordnung echt neu ist ,genügt es doch wenn (mindestens eine) linke(*) Nachbarin verschieden ,sonst hätte es des Zusatzes " und zwar auf jeder Seite" nicht bedurft !

(*) anstelle "linke" kann man genausogut "rechte" setzen ,je nach gusto

[Punk24]

@ projektionsmatrix #81:

sach ich doch auch die ganze Zeit. In der 6. Klasse haben die noch keine "Fakultät"

Hab letztes Jahr meinem Patenkind (7.Klasse) Mathenachhilfe gegeben. Da haben die bruchrechnung und %Rechnung gemacht.

[Dirac]

@ plowy
Ich hatte Deine Beiträge #67und#68 tatsächlich noch nicht gelesen, als ich #69 schrieb.
Ich stimme Dir uneingeschränkt zu, bin aber der Meinung, dass der in der Aufgabenstellung vorkommende Zusatz
"Zwei Sitzordnungen sind gleich, wenn jedes Mädchen die selben Nachbarinnen hat - und zwar auf jeder Seite"
nur bedeuten kann, dass ..abc.. nicht das gleiche ist wie ..cba..
Deshalb: 120 verschiedene Sitzordnungen.

Gruß Dirac

[projektionsmatrix]

@punk24#81
Yepp, schau Dir mal #3 an ^^

Gruß

[Punk24]

@ projektionsmatrix:Hatte ich doch glatt überlesen

[Quirli]

was diskutiert ihr denn noch immer rum?

je nach dem, wie man die Aufgabenstellung interpretiert ist 60 oder 120 richtig

nur 6 Varianten wäre ja absoluter Schwachsinn und eher eine Aufgabe für die erste Klasse der Baumschule, in der man das Zählen mit den zehn Fingern der Hand lernt und die Füße noch nicht dazu nimmt, weil es zu unübersichtlich wird

P.S. Ich habe übrigens auch nicht alle Beiträge erst gelesen...war mir oft zu viel unstrukturierter Text
Nachti

[dawai]

eine kiste ist so lang so breit wie hoch
ist oben ein loch drinne
wie kommt der affe da hinein?

[dawai]

weiterfüredeselementistdiequatenmechanikelementarpfisik

60plus60minus120istnull

[lyta [VIP]]

MISTAAAAAAAAAAAAAAAA wann krieg ma den jetzt das ergebnis????

[dawai]

traut ersiees nicht!
ergebnis ergebnis???????

schade hätte was lernen können!

[Sylow]

@dawai:
Dirac hat recht !!
Begründung: Ich bin vom Fach!

Gruß Sylow

[dawai]

und die herleitung zu #1

[BonMala]

@ projektionsmatrix

Genau so!!!

+ spielgelbildlich = 12

[Quirli]

Noch keine Auflösung?

Der Lehrer rätselt wohl selber noch

[greatmr]

die haben die auswertung noch nicht zurück bekommen....

[projektionsmatrix]

Wir werden nie die Antwort erfahren ! :-(

[Dr.Ecksau]

Ja was issn nu mit der Lösung ?

[OekoLammkotelett]

menno, bin so froh dass die 6 sich net um mich streiten

[Dr.Ecksau]

100 Postings und noch keine Lösung in Sicht...

[Quirli]

[lyta [VIP]]

Esst ´s was in der zwischenzeit --die warterei zehrt unheimlich an der substanz

[Dr.Ecksau]

Stimmt lyta.... Hau´ich mir so lange mal ein Lammkotelett rein...

[Dr.Ecksau]

Wir werden wohl dumm sterben...

[greatmr]

samstag sehe ich sie wieder - mal sehen, ob sie dann die lösung hat

[Dr.Ecksau]

Was ISSN nu ?!?

[greatmr]

fast vergessen

vorab: sie hat keine schriftliche musterlösung bekommen. der lehrer hat gemeint, es gibt mehrere möglichkeiten der lösung

sie hatte als lösung den ansatz von dirac angegeben:

Man kann sich auch vorstellen, dass die Platzierung der ersten Person beliebig ist, da diese nur eine Anfangsmarkierung im Kreis darstellt. Die zweite Person hat dann 5 Möglichkeiten in Bezug auf die erste Person(nämlich einen der 5 noch leeren Stühle, die 3. Person dann noch 4 Möglichkeiten, usw. Also insgesamt 5*4*3*2*1 =5!=120 Möglichkeiten.

darauf hat sie eine glatte 1 bekommen - sie hat als einzige der schule (wenn ich es richtig verstanden habe, sogar als einzige des landkreises) eine richtige lösung präsentiert

clever wie sie ist, hat sie aber nicht gesagt, dass ihr bei der lösung geholfen wurde und nun darf sie die schule bei der matheolympiade vertreten

[Dr.Ecksau]

Glückwunsch zur Teilnahme an der Olympiade !

[greatmr]

jo, sie "freut" sich schon...

[Dr.Ecksau]

Ich hoffe, sie hat während der Olympiade einen Internetzugang. Dann kann sie uns ja direkt fragen.

[greatmr]

es ist ja nicht so, dass sie kein mathematisches verständnis hat,
im gegenteil - die anderen aufgaben hat sie ja selbst gelöst und unter anderem deshalb kommt sie zur olympiade.

aber unsere lösung hat ihr das genick gebrochen

[nautiker]

besteht nicht unser aller leben nur aus schummeln ?!

[robbe_III]

Frage : Wieviele verschiedene Möglichkeiten ex.?


Vor. : (...) Selbe Nachbarin auf JEDER Seite zählt als eine Möglichkeit -> wenn diese Nachbarinnen untereinander die Plätze tauschen ist es keine neue Möglichkeit! Sonst hätte es doch heißen müssen "die selbe Nachbarin(Singular) auf jeder Seite" oder "und zwar auf der gleichen Seite."

Herleitung: 1 Mädel bleibt ohne Einschränkung der Allgemeinheit (andere Sitzordnungen sind symmetrisch also im Sinne der AufgaBE NICHT verschieden) mal sitzen, die anderen nehmen nacheinander 120 verschiedene Sitzkombinationen ein. Diese Anzahl ist zu halbieren, da die zwei Möglichkeiten: Anna links, Berta rechts sowie Anna rechts, Berta links nur einmal zählen, Lös.: 60 . Hier ist mein Verständnis so, daß wenn Anna und Berta tauschen, alle anderen auch anders sitzen müssen, so daß Anna auch beide Nachbarinnen behält.

Oder: 6!=720 Anz Permutationen 6stellige Liste
360 die Spiegelbilder abziehen abcdef==fedcba
Jetzt überlegen, daß immer 6 Listen, wenn ich beliebig die Pos. shiften darf (Ring) gleich sind, abcdef==fabcde==efadcd==defabc==cdefab==bcdefa
360/6 ist 60.

[greatmr]

robbe

der lehrer hat 120 als richtig anerkannt.
mag nicht so ganz sauber sein, aber es ist eine aufgabe in der 6. klasse....

[projektionsmatrix]

Also, es tut mir leid, ich bin sicher, dass das nicht die Lösung sein kann so, wie die Aufgabe formuliert wurde.
Die Lösung von Dirac könnte, auf ein praktisches Beispiel so angewendet werden:
Die erste Person (a) hat 6 Möglichkeiten, platziert zu werden. Wähle ich als nächstes Person (b) dann könnte ich sie links oder rechts von (a) platzieren oder aber auch gegenüber. Diese Möglichkeiten sind in Diracs Lösung beide enthalten, widersprechen meines Erachtens aber der Bedingung, dass alle Positionen sich dadurch auszeichnen müssen, dass jede Schülerin immer die gleiche Nachbarin hat.
Hätte die Aufgabe geheißen: Sechs Freundinnen sitzen an einem Tisch, wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Sitzposition herzustellen, wenn jede Freundin die selbe Nachbarin haben muss, hätte ich mich mit der Lösung anfreunden können, weil dann die Reihenfolge der Besetzung der 6 Positionen eine andere Herstellungsmöglichkeit darstellt. Das entnehme ich aber nicht der Aufgabenstellung.
Man soll nicht meinen, dass alle Aufgaben auf solchen Wettbewerben richtig gelöst oder gestellt worden sind im Sinne der Lösung, die dem Autor vorschwebte. Der, der die Aufgabe stellt ist auch nur ein Mensch.

[plowy]

@ Proma

Gerne nochmals langsam zum Mitschreiben. Die Aufgabe hies verkürzt wörtlich:
Sechs Freundinnen sitzen um einen runden Tisch. Wieviele Möglichkeiten gibt es?

Lösung dazu, ganz eindeutig: 6! = 720 .

Jetzt kommt aber die Einschränkung dazu:
Zwei Sitzordnungen sind gleich, wenn jedes Mädchen die selben Nachbarinnen hat - und zwar auf jeder Seite.

Dadurch gibt es zu jeder der 720 Lösungen 5 gleichwertige Lösungen (- die gesamte Mädchenschar, wie sie bei einer der Lösungen sitzt, kann fünf mal je einen Platz weiterrücken). Jeweils 6 der 720 Lösungen fallen deshalb zu einer Lösung zusammen. Somit gelangt man zu den 120 ( = 720 : 6 ) Lösungen. Dieser Lösungsweg führt natürlich zum gleichen Ergebnis wie bei der Diracschen Lösungsvariante, die von Beginn an die von mir Einschränkung genannte Nebenbedingung miteinbezieht. Und "mit jeder Seite" soll also heißen, dass sehr wohl unterschieden wird, ob ein Mädchen rechts oder links von einem anderen sitzt, ansonsten hätten wir noch durch 2 teilen müssen.

Es gibt also am Ergebnis wirklich nichts zu mäkeln - aber Sechstklässler können das selbsständig noch nicht bearbeiten, wie man ja an der Mitteilung von Greatmr auch erkennt.

[Quirli]

So sind sie halt die Mathelehrer

bei meiner Tochter wurde zu einer Lösung der Hausaufgabe mal abgestimmt....man entschied sich für die mehrheitliche Lösung, die eindeutig falsch war

(hessisches Gymnasium)

[Punk24]

das wird in Walldorfschulen und Gesamtschulen in NRW immer so gemacht