Mathematik Aufgabe... - 500 Beiträge pro Seite

[Sugar2000]

Hallo! Wenn ihr gerade langeweile habt, könnt ihr euch ja mal mit dieser Matheaufgabe beschäftigen...

Zu einer Gesellschaft sind n Leute eingeladen!
a) Begründe, dass mindestens 2 Gäste gleich oft die Hand geschüttelt haben, wenn jeder mindestens einmal die Hand gibt. (Dirichletsches Schubfachprinzip)

b) Jeder Gast möge genau r Bekannte treffen. Zeige, dass dies nur möglich ist, wenn das Produkt n*r eine gerade Zahl ist!

Viel Spaß beim Knobeln...

[tempuser]

oh man...

[BAUD]

Gud Tag

Lösung zu a)
Leere Menge {} - in Norwegen gibt man sich icht die Hand zur Begrüßung -.

Lösung zu b)
r Bekannte = n Gäste, da alle Gäste sich untereinander kennen.

Harde Baud

[kosmo@politan@]

Zum a.:

Man versuche für n=2, n=3, n=4 zu zeigen, das sich keine zwei Gäste die Hand geschüttelt haben. Wenn man ein Prinzip gefunden hat, verallgemeinert man dies auf alle n >= 2 durch vollständige Indukion.

zu b.:

Anderer Ansatz, gleiches Prinzip. Wenn n gerade ist, dann muß auch n*r gerade sein. Also stürzt man sich auf die ungeraden n, und versucht zu zeigen, das für alle ungeraden n mit ungeradem r es möglich ist, das dann jeder Gast r Bekannte trifft. Zuerst für (n=3;r=1) (n=5;r=1) (n=5;r=3) probieren, vieleicht noch für n=7, dann Prinzip finden und per vollständiger Indukion beweisen.

[systembuilder]

ZU a)

Angenommen, alle hätten verschieden viele Hände geschüttelt:
Da jeder mindestens einem die Hand gibt, müssen folgende Anzahlen von geschüttelten Händen je auf genau eine person zutreffen: 1,2,3..., n-1. Da aber n Personen anwesend sind und es nur n-1 verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl geschüttelter Hände gibt, muss logischerweise eine Anzahl mindestens zweimal vorkommen.QED

b) analog